Wahrheitswerte bestimmen

26.10.2013, 00:24

mathematix

Wahrheitswerte bestimmen

Meine Frage:
Gegeben sei $\begin{eqnarray*} G_1 = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2 = \mathbb N \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P\left(x_1, x_2\right):= \left(x_1^2 = x_2\right) \Rightarrow x_1 \in \mathbb N[latex] \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich von folgenden Aussagen die Wahrheitswerte bestimmen.
Ich schreibe meine Lösung jeweils schonmal dahinter.

a) $\begin{eqnarray*} \forall x_1 \in \mathbb R \quad \forall x_2 \in \mathbb N \qquad P\left(x_1, x_2\right) \end{eqnarray*}$ WAHR
b) $\begin{eqnarray*} \forall x_1 \in \mathbb R \quad \exists x_2 \in \mathbb N \qquad P\left(x_1, x_2\right) \end{eqnarray*}$ FALSCH
c) $\begin{eqnarray*} \exists x_1 \in \mathbb R \quad \forall x_2 \in \mathbb N \qquad P\left(x_1, x_2\right) \end{eqnarray*}$ FALSCH
d) $\begin{eqnarray*} \exists x_1 \in \mathbb R \quad \exists x_2 \in \mathbb N \qquad P\left(x_1, x_2\right) \end{eqnarray*}$ WAHR
e) $\begin{eqnarray*} \forall x_2 \in \mathbb N \quad \exists x_1 \in \mathbb R \qquad P\left(x_1, x_2\right) \end{eqnarray*}$ WAHR
f) $\begin{eqnarray*} \exists x_2 \in \mathbb N \quad \forall x_1 \in \mathbb R \qquad P\left(x_1, x_2\right) \end{eqnarray*}$ FALSCH

Dazu zwei Fragen:
1. Stimmen meine Lösungen? Ich bin mir nicht bei allen so ganz sicher.
2. Was soll das $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ in der Aufgabenstellung bedeuten?

Meine Ideen:
s.o.
Vielen Dank schonmal!

26.10.2013, 00:50

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

2. Was soll das $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ in der Aufgabenstellung bedeuten?

gute Frage!

Weiter:

a) Was ist mit $\begin{eqnarray*} x_1 = -2, x_2 = 4 \end{eqnarray*}$ ?
b) Was ist hier mit $\begin{eqnarray*} x_2 = \lceil {x_1}^2+1\rceil \end{eqnarray*}$ ? (hier wurde editiert, s.u.)
c) Was ist mit $\begin{eqnarray*} x_1 = \pi \end{eqnarray*}$ ?
d) richtig!
e) richtig!
f) das hängt davon ab, ob die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bei euch zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ gehört oder nicht. Tut sie es nicht, ist deine Aussage richtig, sonst falsch.

Liebe Grüße
Guppi12

26.10.2013, 00:59

mathematix

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Hallo Guppi12,

vielen Dank für deine Rückmeldung.

a) stimmt... übersehen, danke!

b) Aber für $\begin{eqnarray*} x_2 = {x_1}^2+1 \end{eqnarray*}$ ist doch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_1^2 = x_2 \end{eqnarray*}$ gar nicht erfüllt?!

c) Wie meinst du das?

f) gute Frage... normalerweise würde ich sagen, dass die 0 nicht zu N gehört... aber mit 0 stimmt die Aussage natürlich!

Viele Grüße
mathematix

26.10.2013, 01:01

Guppi12

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Zitat:

b) Aber für $\begin{eqnarray*} x_2 = {x_1}^2+1 \end{eqnarray*}$ ist doch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x_1^2 = x_2 \end{eqnarray*}$ gar nicht erfüllt?!

Ebendrum, darum gehts. $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} \neg A\vee B \end{eqnarray*}$ . Ist also $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ wahr, so ist es auch $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ .

Mit dieser neuen Erkenntnis solltest du dir auch c) klarmachen können.

Edit: Man kann trotzdem nicht $\begin{eqnarray*} x_2 = x_1^2+1 \end{eqnarray*}$ nehmen, das muss ja garkeine natürliche Zahl sein, deswegen muss man nochmal aufrunden. Ich ändere das oben mal.

26.10.2013, 01:18

mathematix

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ok, das habe ich glaube ich verstanden.
Damit sind dann die Aussagen b) und c) beide WAHR.

(Also ist nur die erste und die letzte Aussage FALSCH und der Rest WAHR.)

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