Aussagenlogik Beweis Menge N - Anmerkung zu geschlossenem Thema

26.10.2013, 12:38	mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagenlogik Beweis Menge N - Anmerkung zu geschlossenem Thema Meine Frage: Ich finde es schade, dass meine Frage (http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=529913) aufgrund eines angeblichen Doppelposts (http://www.gute-mathe-fragen.de/57588/aussagenlogik-mit-quantoren) geschlossen wird! Der andere Post beinhaltet zwar die gleiche Frage, stammt aber keinesfalls von mir und befindet sich noch dazu in einem ganz anderen Forum! Außerdem sind dort bisher keine Antworten und Hinweise eingegangen, sodass mir ein Verweis darauf leider auch überhaupt nicht weiterhilft. Ich stelle die Frage daher nochmal, in der Hoffnung, dass mir hier vielleicht doch jemand einen Tipp zur Lösung geben kann! An all diejenigen und vor allem auch an alle, die mir bei anderen Fragen bereits weitergeholfen haben, ein ganz herzliches Dankeschön! --- Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} P\left(x\right) \quad := \quad \exists x_1 \in \mathbb N \quad \exists x_2 \in \mathbb N \quad \left(x_1 + x = x_2\right) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \mathbb N = \left\{ x \in \mathbb R \| P\left(x\right) \right\} \end{eqnarray}$ Oder umformuliert bzw. $\begin{eqnarray} P\left(x\right) \end{eqnarray}$ eingesetzt (was der einzige Hinweis aus dem anderen Board wäre, was ich aber auch ohne diesen auch noch hinbekommen hätte): Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \mathbb N = \left\{ x \in \mathbb R \quad \| \quad \exists x_1 \in \mathbb N \quad \exists x_2 \in \mathbb N \quad \left(x_1 + x = x_2\right) \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das scheint ja irgendwie auf eine andere "Definition" der natürlichen Zahlen rauszulaufen. Aber was ich da jetzt wie zeigen soll weiß ich leider gerade gar nicht.
26.10.2013, 13:45	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin mir gerade nicht sicher, ob ich nicht ein Brett vorm Kopf habe, aber sind nicht auch alle negativen Zahlen in $\begin{eqnarray} \{x\in\mathbb{R}~\|~P(x)\} \end{eqnarray}$ enthalten?
26.10.2013, 14:41	mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Guppi12, wenn $\begin{eqnarray} x_1 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sind, wie willst du dann mit einem negativen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} x_1 + x = x_2 \end{eqnarray}$ erfüllen? Viele Grüße mathematix
26.10.2013, 14:46	mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
Problemfall wäre hier doch aber $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ?! $\begin{eqnarray} \mathbb N = \left\{ x \in \mathbb R \| P\left(x\right) \right\} \end{eqnarray}$ stimmt doch nur, wenn $\begin{eqnarray} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ?!
26.10.2013, 15:03	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
x = -10, x1 = 20, x2=10
26.10.2013, 15:10	mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt bin ich irgendwie verwirrt... ich soll etwas beweisen, für das du gerade ein Gegenbeispiel angegeben hast (das mir durchaus schlüssig erscheint)?! Mit den beiden Existensquantoren kann das auch nicht weiter zusammenhängen, oder? Die Aussage, die man zeigen könnte (auch wenn ich nicht genau weiß, wie ich das dann aufschreiben sollte), wäre doch dann: $\begin{eqnarray} \mathbb Z = \left\{ x \in \mathbb R \quad \| \quad \exists x_1 \in \mathbb N \quad \exists x_2 \in \mathbb N \quad \left(x_1 + x = x_2\right) \right\} \end{eqnarray}$ (Das steht natürlich nicht in der Aufgabenstellung.)
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26.10.2013, 15:16	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja deswegen sagte ich ja, ich weiß nicht, ob ich gerade ein Brett vorm Kopf habe, eben weil das zu zeigende mMn. nicht stimmt. Die Aussage, die du formuliert hast, halte ich hingegen für richtig.
26.10.2013, 18:19	mathematix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt noch weiter darüber nachgedacht, hätte aber auch keine Idee, wie ich die Aussage $\begin{eqnarray} \mathbb Z = \left\{ x \in \mathbb R \quad \| \quad \exists x_1 \in \mathbb N \quad \exists x_2 \in \mathbb N \quad \left(x_1 + x = x_2\right) \right\} \end{eqnarray}$ beweisen sollte. Das müsste ja im Prinzip genauso gehen, wie es gedacht war $\begin{eqnarray} \mathbb N = \left\{ x \in \mathbb R \quad \| \quad \exists x_1 \in \mathbb N \quad \exists x_2 \in \mathbb N \quad \left(x_1 + x = x_2\right) \right\} \end{eqnarray}$ zu zeigen?! Vielleicht hat ja hierzu noch jemand einen Gedanken?!

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