Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem

26.10.2013, 14:52

Alfred Gäbeli

Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem

Meine Frage:
Hallo Leute,
Folgende Aufgabe würde ich gerne besprechen:

Ist die angegebene Kollektion linear unabhängig? Ein Erzeugendensystem?

a) $\begin{eqnarray*} (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

b) $\begin{eqnarray*} (e_i-e_{i+1})_{i=1,\cdots,n-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ als K-Vektorraum (dabei: $\begin{eqnarray*} n \in\mathbb{N}_{>0} \end{eqnarray*}$ und K ist ein Körper)
c) $\begin{eqnarray*} (10^{-n})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum

Meine Ideen:
zu a)
Ich hab einfach die Vektoren als Spalten in eine Matrix geschrieben und eine Gausselimination durchgeführt. Ich bekam dann eine Nullzeile, was heisst, dass zwei dieser Vektoren linear anhängig sind.
Zwei Vektoren können für den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ nicht erzeugend sein.

zu b)
hier wirds schon schwieriger.
ich hab mir die Vektoren mal als Spaltenvektoren versucht in eine Matrix aufzuschreiben.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ -1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
so sieht - glaube ich - die Matrix aus, wenn ich n spalten hätte.
Ich hab aber nur n-1 Spalten. Also eine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Matrix.
Dh. die letzte Spalte muss ich noch weglassen.
Aber wie weiter? Kann ich jetzt auch mit Zeilenumformungen arbeiten?

zu c)
ist eine geometrische Folge.
Diese ist sicherlich linear abhängig. Bleibt nur noch die Frage nach dem Erzeugendensystem.

26.10.2013, 15:37

Louis1991

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RE: Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensystem
Hallo Alfred,

Die b) kannst du so machen, wie du vorgeschlagen hast. Alternativ kannst du dir auch eine arbitrary Linearkombination von solchen Vektoren hernehmen, und dann sehen, dass du den Vektor mit niedrigstem Index i, der als Summand auftaucht, nicht eliminieren kannst.

Zu c): Du kannst direkt zeigen, dass der von der Folge erzeugte Unterraum isomorph zu Q als Q-Vektorraum ist. Oder du "zeigst", dass eine irrationale Zahl nicht als endliche Q-Linearkombination von Elementen der Folge darstellbar ist, etc.

lg

26.10.2013, 21:56

Alfred Gäbeli

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Ok bei b) hab ich nun mit Zeilenumformungen eine Nullzeile erzeugt.

das sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & \dots & \dots & 0 \\ -1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das heisst nun, dass die gegebene Familie linear abhängig und erzeugend für den $\begin{eqnarray*} K^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist.
stimmt das so? verwirrt

Zitat:

Du kannst direkt zeigen, dass der von der Folge erzeugte Unterraum isomorph zu Q als Q-Vektorraum ist.

ok, und wie mache ich das? einfach die Bedingungen für einen Unterraum prüfen?

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