Beweis, dass Folge beschränkt und wachsend ist

26.10.2013, 15:37

joh13

Beweis, dass Folge beschränkt und wachsend ist

Meine Frage:
Hallo,
ich sollte zeigen, dass die gegebene Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n} \right\}= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend und zugleich beschränkt ist, also konvergent.

Meine Ideen:
Ich hätte die vollständige Induktion als Beweismittel benützt mit
$\begin{eqnarray*} a_{2}-a_{1} = (\frac{1}{1+2} + \frac{1}{2+2} )-(\frac{1}{1+1} ) =\frac{1}{12} > 0 \end{eqnarray*}$
und danach für $\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k} - \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} \end{eqnarray*}$ habe ich dann auch noch ausgeschrieben, und dann bekomme ich einen Term und wenn ich den zusammenfasse weiß ich nicht, wie ich beweisen sollte, dass dieser größer null ist.

Könnte mir jemand dabei behilflich sein? oder könnte ich auch einen anderen Ansatz nehmen?

DanKe schonmal!

26.10.2013, 16:23

joh13

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Könnte mir bitte jemand helfen? Ich komme wirklich nicht weiter...

26.10.2013, 16:23

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist eine Untersumme des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\dd x}{1+x} \end{eqnarray*}$ ,

26.10.2013, 16:26

joh13

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Danke!

Leider hatten wir diese Form des Beweises aber noch nicht... Könnte man das auch auf eine ander Art nachweisen? Mit der Induktion oder Ähnlichem?

Gruß

26.10.2013, 16:35

Leopold

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RE: Beweis, dass Folge beschränkt und wachsend ist
Dann machen wir das direkt. Beginnen wir mit der Monotonie.

Zitat:

Original von joh13
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\color{red} n \color{black} +k} - \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n+k} \end{eqnarray*}$

Das solltest du zunächst ausbessern. Nach Vereinfachen erhältst du dann

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$

Schau einmal, ob du das hinbekommst.

26.10.2013, 16:52

joh13

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Ok, habs mal versucht, komm aber nciht auf dein Ergebnis... Bei mir kommt etwas negatives heraus, nämlich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ Dieser Ausdruck wäre ja <0....

26.10.2013, 16:58

Leopold

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Zitat:

Original von joh13
Ok, habs mal versucht, komm aber nciht auf dein Ergebnis

Tja, was soll ich das sagen? Pech gehabt!
Nein, im Ernst - wenn du die Rechnung nicht hinschreibst, kann niemand wissen, woran es liegt.

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