Cauchy Integralsatz

26.10.2013, 16:22

steviehawk

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Cauchy Integralsatz

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

Mit Hilfe des Cauchy - Integralsatzes zeigen man, dass $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{dx}{1+x^2} = \pi \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich brauche doch da irgendeine Kurve über die ich integriere oder?

Wie kann ich denn jetzt mit Hilfe von Cauchy ein reelles Integral lösen?

26.10.2013, 16:37

Leopold

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Kennst du nur den Cauchyschen Integralsatz oder auch die Cauchysche Integralformel?

26.10.2013, 17:08

steviehawk

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Also ich kenne den C - Integralsatz so:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ein einfach zusamenhängendes Gebiet und f sei darin holomorph. Dann gilt ,sofern alle betrachteten Wege ganz in G liegen:

Für jeden geschlossene Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$

Für die Aufgabe würde ich wohl: $\begin{eqnarray*} f = \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ ansetzen. Und ein geschlossenen Integrationsweg wählen. Dreieck od. Kreis

Dann weiß ich: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$ jetzt würde ich das gerne aufsplitten:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma} Re f(z) dz + i \int_{\gamma} Im f(z) dz \end{eqnarray*}$

Das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} Re f(z) dz \end{eqnarray*}$ ist dann mein gesuchtes, wenn ich jetzt weiß, was $\begin{eqnarray*} i \int_{\gamma} Im f(z)<br /> dz \end{eqnarray*}$ ist, dann könnte ich ja das Integral lösen..

so mal meine Idee smile

smile

26.10.2013, 17:32

Leopold

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Ich weiß nicht, wie man darauf kommen soll, wenn man so eine Aufgabe noch nie gerechnet hat.

Du könntest $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z + \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$ über den positiv orientierten Rand $\begin{eqnarray*} \gamma_R \end{eqnarray*}$ des oberen Halbkreises vom Radius $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ integrieren. Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_R} \frac{\dd z}{z + \operatorname{i}} = 0 \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt, wenn man parametrisiert:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_R} \frac{\dd z}{z + \operatorname{i}} = \int_{-R}^R \frac{\dd x}{x + \operatorname{i}} + \int_0^{\pi} \frac{\operatorname{i} R \operatorname{e}^{\operatorname{i}t}}{R \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} + \operatorname{i}} ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Wenn man weiterrechnet, ist nach ein paar Schritten

$\begin{eqnarray*} \int_{-R}^R \frac{\dd x}{x + \operatorname{i}} = - \operatorname{i} \int_{-R}^R \frac{\dd x}{x^2 + 1} \end{eqnarray*}$

was für $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ auf das gesuchte Integral hinausläuft. Und dann bliebe noch zu zeigen, daß der zweite Summand oben für $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \pi \end{eqnarray*}$ konvergiert.

26.10.2013, 19:45

steviehawk

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Hallo Leopold, ich saß bis eben parallel noch an einer andere Aufgabe und glaube, dass das Vorgehen dort auch hier zum Ziel führen kann.

Ich hatte in der andere Aufgabe folgendes Integral zu bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \int_{|z-1|=1} \frac{sin{z}}{z^2-1} dz \end{eqnarray*}$

auch hier sollte ich mit C - Integralformel/satz arbeiten.

Ich habe dann: $\begin{eqnarray*} \frac{sin(z)}{z^2-1} = \frac{sin(z)}{(z+1)(z-1)} = \frac{\frac{sin(z)}{z+1}}{z-1} \end{eqnarray*}$ umgeformt.

So habe ich die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{sin(z)}{z+1} \end{eqnarray*}$ und die Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} |z-1|=1 \end{eqnarray*}$ liegt ja im Def.bereich von f. Also kann ich C-Integralformel anwenden und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \int_{|z-1|=1} \frac{\frac{sin(z)}{z+1}}{z-1} dz = 2\pi i \frac{sin(1)}{2} = \pi i sin(1) \end{eqnarray*}$

So jetzt hatte ich vor, dass hier bei dieser Aufgabe so ähnlich zu machen:

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{(x+i)(x-i)} = \frac{\frac{1}{x+i}}{x-i} \end{eqnarray*}$

So dann definiere ich mir: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z+i} \end{eqnarray*}$ Und dann habe ich das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\frac{1}{z+i}}{z-i} dz = 2i\pi \frac{1}{i+i} = \pi \end{eqnarray*}$

Ich habe da jetzt mal $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ an das Integral geschrieben, aber ich weiß nicht, was ich da jetzt hinschreibe, bzw wie ich mir das $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ definiere.

In der Cauchy-Integralformel steht da eine Kreischscheibe bzw. der Rand einer Kreisscheibe . Ich brauche ja dann hier eine Kreisscheibe, die die Punkte $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ enthält oder wie?? verwirrt

verwirrt

Also hier fehlt mir noch bisschen was wie du siehst..

Kannst du mir dahingehend weiter helfen?

DANKE!

26.10.2013, 20:01

Leopold

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Du bist ja lustig ... Ich frage dich, ob du die Cauchysche Integralformel kennst. Und du sagst kein Sterbenswörtchen darüber. Und jetzt stellt sich heraus, daß du die Cauchysche Integralformel ja doch kennst. Dann kann man sich die Aufgabe einfacher machen.

Der Integrationsweg bleibt, wie in meinem vorigen Beitrag beschrieben. Der Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ muß jetzt $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ gewählt werden, was aber kein Problem ist, da man ja später den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ durchführen will. Parametrisiere wie dort beschrieben das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_R} \frac{\dd z}{z^2 + 1} \end{eqnarray*}$ und zeige, daß der Summand, der von der Strecke $\begin{eqnarray*} [-R,R] \end{eqnarray*}$ herrührt, für $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ auf das gesuchte Integral führt, und der Summand, der vom Halbkreis herrührt, für $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ strebt.

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26.10.2013, 20:28

steviehawk

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Leopold, das tut mir Leid, Hammer

Hammer

Also sei: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z+i} \end{eqnarray*}$ Diese Funktion integriere ich jetzt über den oberen Halbkreis mit Radius $\begin{eqnarray*} R > 1 \end{eqnarray*}$ (warum muss der Radius größer 1 sein? )

Sei $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = Re^{it} \end{eqnarray*}$ dieser Kreis. Dann erhalte ich für das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\pi}^0 \frac{1}{Re^{it}+i}iRe^{it} dt \end{eqnarray*}$

(Ich habe die Integralgrenzen jetzt anders wie du, hatte da heute mit Che schon ne Aufgabe gemacht, da wurde auch der Obererhalbkreis von -R bis R durchlaufen und die Grenzen waren so zu wählen)

= $\begin{eqnarray*} \int_{\pi}^0 \frac{iRe^{it}}{Re^{it}+i}dt \end{eqnarray*}$

wie kann ich das jetzt umformen, so dass ich den Integralsatz anwenden darf?

EDIT:
Wieso ist $\begin{eqnarray*} \int_{{\gamma}_R} \frac{dz}{z+i} = 0 \end{eqnarray*}$ ?? Ich dachte das gilt nur für geschlossene Kurven.

26.10.2013, 20:44

Leopold

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Jetzt geht aber einiges durcheinander. Ich hatte dir zwar den Vorschlag mit $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z + \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$ gemacht, weil ich dachte, dir sei die Cauchysche Integralformel unbekannt. Nachdem du aber mit ihr bereits $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_R} \frac{\dd z}{z^2+1} = \pi \end{eqnarray*}$ herausbekommen hattest, bin ich zu $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z^2+1} \end{eqnarray*}$ umgeschwenkt. Und dabei sollte es jetzt auch bleiben.

Integriere also $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z^2+1} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \gamma_R \end{eqnarray*}$ . Den Wert des Integrals hast du ja bereits ermittelt:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma_R} \frac{\dd z}{z^2+1} = \pi \end{eqnarray*}$

Und jetzt parametrisiere dieses Integral. Wenn du den positiv orientierten Rand des oberen Halbkreises vom Radius $\begin{eqnarray*} R>1 \end{eqnarray*}$ durchläuft, durchläufst du die Strecke von $\begin{eqnarray*} -R \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und daran anschließend den Halbkreis von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} -R \end{eqnarray*}$ (und nicht von $\begin{eqnarray*} -R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ).
Übrigens muß $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ deshalb $\begin{eqnarray*} >1 \end{eqnarray*}$ sein, weil sonst die Cauchysche Integralformel, wie von dir vorgenommen, nicht angewendet werden dürfte. Lies die Voraussetzungen noch einmal genau nach.

EDIT zu deinem EDIT: $\begin{eqnarray*} \gamma_R \end{eqnarray*}$ ist geschlossen. Lies meine jetzt mehrfach wiederholte Definition von $\begin{eqnarray*} \gamma_R \end{eqnarray*}$ genau.

26.10.2013, 21:07

steviehawk

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Okay, jetzt ist es klar! Freude

Freude

EDIT:

Geh ich recht in der Annahme, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{R \to 0} \int_{\gamma_1} \frac{1}{1+z^2} dz = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx \end{eqnarray*}$

ist, falls $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = -R + 2Rt (=[-R,R]) \end{eqnarray*}$

Gamma1 beschreibt mir ja gerade mein Stück auf der Re - Achse und da R gegen unendlich strebt habe ich dann $\begin{eqnarray*} (-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ im Grenzübergang.

Ob ich das jetzt als komplexes Integral mit Weg auf der reellen Achse oder als reelles Integral mit Intervall auf der X-Achse schreibe dürfte ja gleich sein..

Dann hätte ich alles.

Merci nochmal für die Engelsgeduld!

26.10.2013, 22:13

Leopold

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Du mußt natürlich noch zeigen, daß der Integrationsbestandteil, der vom Halbkreisbogen herrührt, gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ strebt. Das ist ja die eigentliche Arbeit. Und es soll in der Formel wohl $\begin{eqnarray*} R \to \infty \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} R \to 0 \end{eqnarray*}$ heißen.

Als Parameterintervall für die Strecke würde ich nicht $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ wählen, sondern $\begin{eqnarray*} [-R,R] \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} z = \gamma_1(t) = t \, , \ \ t \in [-R,R] \end{eqnarray*}$

die Parametrisierung und die Übereinstimmung mit dem reellen Integral von vorneherein offenkundig.

26.10.2013, 22:22

steviehawk

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Stimmt das ist wohl die bessere Art für die Parametrisierung. Und das der andere Integralteil verschwindet habe ich auf dem Papier gezeigt..

schwere Geburt Wink

Wink

DANKE.

27.10.2013, 08:57

steviehawk

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Noch eine letzte Frage fürs Verständnis.

Der Cauchy-Integralsatz sagt ja, dass $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$ für jede, im Def.bereich liegende, geschlossene nullhomotope Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Ich habe zu Beginn das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{1}{z^2+1} dz \end{eqnarray*}$ berechnet, da kam ja nicht null raus, sondern $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Geh ich recht in der Annahme, dass der Cauchy-Integralsatz hier nicht wirkt, weil ja der Kreis mit Radius größer 1 nicht "nullhomotop" ist, weil ja die 2 Löcher $\begin{eqnarray*} i,-i \end{eqnarray*}$ in dem Def.bereich liegen?

Für den Cauchy-Integralsatz macht das aber nicht aus (da wird es auch nicht gefordert), da wird ja später über die Kreislinie integriert und wenn ich Radius größer als 1 wähle, dann liegt i und -i nicht auf der Kreislinie.

Letzte Frage, in der C-Integralformel steht im Skript, dass die abgeschlossene Kreisscheibe(über deren Rand dann integriert wird) ganz im Def.berreich von f liegen muss. Ist das hier denn der Fall?, denn die Kreisscheibe enthält doch auch +i und -i, diese sind aber nicht im Defbereich von f.

Eigentlich liegt ja Die Kreisscheibe schon im Defbereich von f, da ja f auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \setminus \{i,-i\} \end{eqnarray*}$ definiert ist. Die Kreisscheibe enthält dann eben die 2 Löcher, in denen f nicht definiert ist, macht das was aus??

Danke!

27.10.2013, 09:24

Leopold

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Zitat:

Original von steviehawk
Der Cauchy-Integralsatz sagt ja, dass $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz = 0 \end{eqnarray*}$ für jede, im Def.bereich liegende, geschlossene nullhomotope Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .

Richtig.

Zitat:

Original von steviehawk
Ich habe zu Beginn das Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{1}{z^2+1} dz \end{eqnarray*}$ berechnet, da kam ja nicht null raus, sondern $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Geh ich recht in der Annahme, dass der Cauchy-Integralsatz hier nicht wirkt, weil ja der Kreis mit Radius größer 1 nicht "nullhomotop" ist, weil ja die 2 Löcher $\begin{eqnarray*} i,-i \end{eqnarray*}$ in dem Def.bereich liegen?

Richtig.

Zitat:

Original von steviehawk
Für den Cauchy-Integralsatz macht das aber nicht aus (da wird es auch nicht gefordert), da wird ja später über die Kreislinie integriert und wenn ich Radius größer als 1 wähle, dann liegt i und -i nicht auf der Kreislinie.

Das verstehe ich nicht. Meinst du die Cauchysche Integralformel? Oder etwa bloß die Existenz des Integrals?

Zitat:

Original von steviehawk
Letzte Frage, in der C-Integralformel steht im Skript, dass die abgeschlossene Kreisscheibe(über deren Rand dann integriert wird) ganz im Def.berreich von f liegen muss. Ist das hier denn der Fall?, denn die Kreisscheibe enthält doch auch +i und -i, diese sind aber nicht im Defbereich von f.

Das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , auf das du die Cauchysche Integralformel angewandt hattest, war $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z + \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$ , und wir integrieren auch nur über den Rand des oberen Halbkreises.

Zitat:

Original von steviehawk
So dann definiere ich mir: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z+i} \end{eqnarray*}$ Und dann habe ich das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\frac{1}{z+i}}{z-i} dz = 2i\pi \frac{1}{i+i} = \pi \end{eqnarray*}$

27.10.2013, 10:14

steviehawk

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Zitat:

Original von steviehawk
Für den Cauchy-Integralsatz macht das aber nicht aus (da wird es auch nicht gefordert), da wird ja später über die Kreislinie integriert und wenn ich Radius größer als 1 wähle, dann liegt i und -i nicht auf der Kreislinie.

Das verstehe ich nicht. Meinst du die Cauchysche Integralformel? Oder etwa bloß die Existenz des Integrals?

Ja ich meinte die Cauchysche Integralformel.

Ja stimmt, ich habe ja die Cauchyintegralformel auf $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z+i} \end{eqnarray*}$ angewandt.

Ich glaube in unserem Skript ist das etwas unglücklich formuliert: Ich zitiere:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \hookrightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar. Ist die abgeschlossene Kreisscheibe $\begin{eqnarray*} \overline{D}_r(a) \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ enthalten, so gilt:

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial D_r(a)} \frac{f(w)}{w-z} dw \end{eqnarray*}$

Jetzt dachte ich immer, das dieser Satz nur für Kreislinien gilt, da über den Rand der Kreischeibe integriert wird und dieser wohl eine Kreislinie ist.

Ich habe den Satz aber auch noch so gefunden:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiert, der geschlossene Weg $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ verlaufe ganz darin. Die Funktion f sei holomorph in G. Dann gilt für beliebige $\begin{eqnarray*} z \in G \setminus Bild(\gamma) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{2\pi i } \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d\zeta \end{eqnarray*}$

Wenn ich die zweite Formulierung lese, wird mir auch klar, warum der Radius größer als 1 sein muss, weil ja sonst, i im Bild der Kurve liegen würde, was nach Vorraussetzung nicht sein darf.
In dieser formulierung kann ich auch dein $\begin{eqnarray*} \gamma_r \end{eqnarray*}$ besser verstehen, ich dachte immer ich muss über eine ganze Kreislinie integrieren..

27.10.2013, 10:23

Leopold

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Steht das wirklich so in deinem Skript? Denn dann ist das falsch. Irgendwie fehlt da noch die Windungszahl, mit der sich die Kurve um $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ windet. Oder, wenn man sie wegläßt, müßte man sagen, daß $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ im Innern des vom Kreis (von der Kurve) berandeten Gebiets liegen muß. Und auch an die Kurve müßte man noch ein paar Schönheitsanforderungen stellen.

27.10.2013, 10:39

steviehawk

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Oh man,

Hammer

Bei der ersten Formulierung fehlt noch: Für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} z \in D_r(a) \end{eqnarray*}$

Bei der zweiten Formulierung habe ich die Windungszahl vergessen, hier muss es heißen: $\begin{eqnarray*} f(z)Ind_{\gamma}(z) = \frac{2}{2\pi i } \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d\zeta \end{eqnarray*}$

Ich hatte ja: $\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\frac{1}{z+i}}{z-i} dz = 2i\pi \frac{1}{i+i} = \pi \end{eqnarray*}$

das heißt mein Punkt $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ wurde ein Mal umlaufen, deshalb hätte ich theoretisch mit 1 multipliziert.

27.10.2013, 10:47

Leopold

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Dann lag also der Fehler nicht beim Skript, sondern ... na ja, du weißt schon. Geh mal den Hund Gassi führen oder trink ne Tasse Tee. Bei uns scheint grade die Sonne, und es ist schön warm (vielleicht der letzte Tag in diesem Jahr). Ich glaub, das mach ich jetzt auch.

27.10.2013, 10:48

steviehawk

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Alles klar Danke Wink

Wink

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