Zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Mengen injektiv ist.

26.10.2013, 17:46

physiker135

Zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Mengen injektiv ist.

Meine Frage:
Die Abbildung M: P(X\cup Y) -> P(X) \otimes P(Y) ; A -> (A\cap X, A\cap Y) ist injektiv.
\otimes = kartesischen Produkt

Aufgabe: Diesen Zusammenhang zeigen.

Meine Ideen:
Was ist A? Wie zeige ich das?

26.10.2013, 17:59

physiker135

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RE: Zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Mengen injektiv ist.
$\begin{eqnarray*} Die Abbildung M: P(X\cup Y) -> P(X) \otimes P(Y) ; A -> (A\cap X, A\cap Y) ist injektiv.<br /> \otimes = kartesischen Produkt \end{eqnarray*}$

26.10.2013, 18:04

Leopold

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RE: Zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Mengen injektiv ist.

Zitat:

Original von physiker135
Was ist A?

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Variable der Abbildungsvorschrift, ähnlich wie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2013, 18:51

physiker135

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RE: Zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Mengen injektiv ist.
Könnte jemand die Aufgabe in Worte fassen? Mir ist einfach nicht klar, was mit der Notation gemeint ist.

26.10.2013, 19:12

Leopold

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Du sollst zeigen, daß die Abbildung $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} M: \ \mathcal{P}(X \cup Y) \to \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(Y) \, , \ \ A \mapsto \left( A \cap X \, , \, A \cap Y \right) \end{eqnarray*}$

injektiv ist. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ordnet jeder Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \cup Y \end{eqnarray*}$ ein Paar zweier Mengen zu, nämlich

$\begin{eqnarray*} \left( A \cap X \, , \, A \cap Y \right) = \left( \text{Teil von} \ A \ \text{der zu} \ X \ \text{gehört} \, , \, \text{Teil von} \ A \ \text{der zu} \ Y \ \text{gehört} \right) \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} X = \{ 1,2,3,4,5 \} \, , \ Y = \{ 4,5,6,7 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X \cup Y = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} A = \{ 2,4,6 \} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} M(A) = \left( \{ 2,4 \} \, , \, \{ 4,6\} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} A = \{ 1,2,3 \} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} M(A) = \left( \{ 1,2,3 \} \, , \, \emptyset \right) \end{eqnarray*}$

26.10.2013, 20:26

physiker135

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Ok. Und wie? ^^

26.10.2013, 20:31

Leopold

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Eine Abbildung ist injektiv, wenn aus der Gleichheit der Bilder die Gleichheit der Urbilder folgt. Nimm also zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) Mengen $\begin{eqnarray*} A,A' \subseteq X \cup Y \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} M(A) = M(A') \end{eqnarray*}$ voraus. Zeige, daß sich daraus notwendigerweise $\begin{eqnarray*} A=A' \end{eqnarray*}$ ergibt.

26.10.2013, 20:48

physiker135

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Wenn ich Injektivität voraussetze wäre ich damit doch fertig, oder?

26.10.2013, 20:53

Leopold

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Das wäre ja eine schöne Beweismethode. Ich setze einfach voraus, das, was ich beweisen soll, wäre schon bewiesen. Ich bin sprachlos ...

Ich habe dir den Ansatz ja bereits vorgegeben:

Zitat:

Original von Leopold
Nimm also zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) Mengen $\begin{eqnarray*} A,A' \subseteq X \cup Y \end{eqnarray*}$ und setze $\begin{eqnarray*} M(A) = M(A') \end{eqnarray*}$ voraus.

Aber das ist nun deine Aufgabe:

Zitat:

Original von Leopold
Zeige, daß sich daraus notwendigerweise $\begin{eqnarray*} A=A' \end{eqnarray*}$ ergibt.

Aber ich habe sowieso langsam den Eindruck, daß dir gar nicht klar ist, was Injektivität bedeutet. Dann nützt dir natürlich auch mein Hilfeversuch nichts.

26.10.2013, 20:54

physiker135

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Wäre super, wenn jamand den Rechenweg aufschreiben könnte.

26.10.2013, 20:54

physiker135

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Injektivität bedeutet, dass wenn f(a)=f(b) -> a=b

26.10.2013, 20:58

Leopold

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Genau, und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist bei uns $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist bei uns $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist bei uns $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ . So hatte ich es vorgeschlagen, du kannst natürlich statt $\begin{eqnarray*} A,A' \end{eqnarray*}$ auch andere Bezeichner wählen.

26.10.2013, 20:59

physiker135

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Oder anders gesagt: Für jedes y aus der Zielmenge gibt es höchstens ein x aus der Wertemenge.

26.10.2013, 21:01

Leopold

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Jetzt beginne mit $\begin{eqnarray*} M(A) = M(A') \end{eqnarray*}$ . Schreibe auf, was diese Gleichung nach der Definition der Abbildung $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ besagt.

26.10.2013, 21:06

physiker135

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(A n X, A n Y) = (A' n X, A' n Y) ?

26.10.2013, 21:08

physiker135

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Und weiter?

26.10.2013, 21:10

Leopold

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Entferne / vor dem öffnenden "Latex". Ansonsten ist das richtig. Jetzt mußt du an die Definition eines Paars denken. Wann gelten zwei Paare von Dingen als gleich?

26.10.2013, 21:12

physiker135

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Wahrscheinlich wenn A n X = A' n X und A n Y = A' n Y ..

26.10.2013, 21:13

physiker135

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Also wenn A = A' ist?

26.10.2013, 21:17

Leopold

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Genau. Das ist einfach die Definition eines geordneten Paares:

$\begin{eqnarray*} (\alpha,\beta) = (\gamma,\delta) \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha = \gamma \ \ \text{und} \ \ \beta = \delta \end{eqnarray*}$

Bis hierher geht alles automatisch. Denken muß man nicht viel. Jetzt kommt aber ein kleiner Trick, um zum Ziel zu gelangen. Ein Hinweis: Welche Mengenoperation könnte man denn mit den beiden Mengen $\begin{eqnarray*} A \cap X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap Y \end{eqnarray*}$ jetzt durchführen?

EDIT (zu deinem nachgeschobenen Beitrag)
Das sollst du gerade zeigen. Du willst schon wieder zu weit springen ...

EDIT
Mein "Genau" am Anfang dieses Beitrags bezieht sich natürlich auf den vorletzten Beitrag von Physiker135.

26.10.2013, 21:27

physiker135

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Ein n aus A liegt auf jeden Fall in X und Y..

26.10.2013, 21:35

Leopold

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Ich weiß nicht, was ich jetzt mit dieser Antwort anfangen soll. Sie ist genau so richtig wie belanglos. Alles spielt sich in $\begin{eqnarray*} X \cup Y \end{eqnarray*}$ ab.

Beachte, daß die Abbildung $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in ihre $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ - bzw. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ -Bestandteile einteilt.

Aus $\begin{eqnarray*} M(A) = M(A') \end{eqnarray*}$ haben wir bisher geschlossen:

$\begin{eqnarray*} A \cap X = A' \cap X \ \ \text{und} \ \ A \cap Y = A' \cap Y \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt immer noch, warum daraus $\begin{eqnarray*} A=A' \end{eqnarray*}$ folgt. Tip: Führe wieder zusammen, was durch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ getrennt wurde: Vereinigungsmenge. Distributivgesetz.

26.10.2013, 21:44

physiker135

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Wir sind also noch nicht fertig, weil zwei Mengen, deren Schnittmenge mit einer anderen gleich ist, nicht gleich sein müssen?

26.10.2013, 21:53

Leopold

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Im allgemeinen brauchen die nicht gleich zu sein. Das muß etwas damit zu tun haben, daß $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \cup Y \end{eqnarray*}$ ist. Deswegen auch der Tip, die Mengen $\begin{eqnarray*} A \cap X = A' \cap X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap Y = A' \cap Y \end{eqnarray*}$ miteinander zu vereinigen.

26.10.2013, 22:01

physiker135

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$\begin{eqnarray*} (A\cup X)\cap (A'\cup Y) = (A'\cup X)\cap (A\cup Y) \end{eqnarray*}$

26.10.2013, 22:05

Leopold

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Was ist denn das? Steht jetzt da $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ stehen müßte? Und umgekehrt?

Und selbst wenn das nur ein Schreibfehler ist: das Vorgehen ist nicht gerade geschickt. Vereinige die linken und die rechten Seiten der beiden Gleichungen. Nicht über Kreuz.

26.10.2013, 22:16

physiker135

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$\begin{eqnarray*} (A\cap X)\cup (A\cap Y) = (A'\cap X)\cup (A'\cap Y) \end{eqnarray*}$

Was nur für A=A' der Fall ist..

26.10.2013, 22:21

Leopold

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Zitat:

Original von physiker135
$\begin{eqnarray*} (A\cap X)\cup (A\cap Y) = (A'\cap X)\cup (A'\cap Y) \end{eqnarray*}$

Was nur für A=A' der Fall ist..

Und warum?

26.10.2013, 22:26

physiker135

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Sag du es mir. ^^

26.10.2013, 22:30

Leopold

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Wende das Distributivgesetz an ( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ausklammern).

26.10.2013, 22:37

physiker135

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$\begin{eqnarray*} A\cap (X\cup Y)= A' \cap (X\cup Y) \end{eqnarray*}$

Wo wir wieder bei dem Punkt wären, dass A und A' nicht gleich sein müssen.

26.10.2013, 22:42

Leopold

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Doch. Jetzt sind wir am Ziel. Denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nach Voraussetzung

Zitat:

Original von Leopold
Nimm also zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) Mengen $\begin{eqnarray*} A,A' \subseteq X \cup Y \end{eqnarray*}$ und ...

eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \cup Y \end{eqnarray*}$ . Und was kommt heraus, wenn man eine Teilmenge mit der gesamten Menge schneidet?

26.10.2013, 22:45

physiker135

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Die gesamte Menge?!

26.10.2013, 22:46

physiker135

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Nein. Die Teilmenge natürlich. ^^

26.10.2013, 22:50

physiker135

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Ok. Aber den Schritt, wo wir die Mengen vereinigt haben verstehe ich noch nicht..

26.10.2013, 22:52

Leopold

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \{ 1,2,3 \} \, , \ A' = \{ 1,2,3,4 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = \{ 1,2,5 \} \, , \ \ Y = \{ 2,3 \} \end{eqnarray*}$

Hier ist

$\begin{eqnarray*} A \cap X = A' \cap X \ \ \text{und} \ \ A \cap Y = A' \cap Y \end{eqnarray*}$

Dennoch ist $\begin{eqnarray*} A \neq A' \end{eqnarray*}$ .

Die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} A,A' \subseteq X \cup Y \end{eqnarray*}$ war also wesentlich für den Beweis. Deswegen muß die Argumentation dies auch irgendwie anführen.

EDIT

Zitat:

Original von physiker135
Ok. Aber den Schritt, wo wir die Mengen vereinigt haben verstehe ich noch nicht..

Und was verstehst du nicht?

27.10.2013, 12:47

physiker135

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Ich verstehe nicht, wieso man das einfach so machen kann.

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Zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei Mengen injektiv ist.

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