Hilfe bei Induktionsaufgabe

26.10.2013, 21:35

Simel

Hilfe bei Induktionsaufgabe

Edit (mY+): Bitte schneide das Bild entsprechend zu, eine große schwarze Fläche ist einfach häßlich! Bild zugeschnitten.

Meine Frage:
Hallo,

ich weiß bei einer Aufgabe überhaut nicht wie ich anfangen soll...:

[attach]31923[/attach]

Meine Ideen:
Es handelt sich hierbei ja nicht um einen Bruch oder? Sondern einen Binomialkoeffizienten soweit ich weiß...aber wie fange ich jetzt an? Ich würde gern den Induktionsanfang setzen indem ich n=0 einsetze.

Dann wäre die linke Seite ja (5+0) =1 und die rechte (5+0+1)=1
0 0

aber wie geht's jetzt weiter?

26.10.2013, 22:03

jimmyt

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe

Zitat:

Original von Simel
...
Es handelt sich hierbei ja nicht um einen Bruch oder? Sondern einen Binomialkoeffizienten soweit ich weiß...

aber wie geht's jetzt weiter?

Weißt du, wie der Binomialkoeffizient definiert ist?

26.10.2013, 22:12

Simel

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe

Zitat:

Original von jimmyt

Zitat:

Original von Simel
...
Es handelt sich hierbei ja nicht um einen Bruch oder? Sondern einen Binomialkoeffizienten soweit ich weiß...

aber wie geht's jetzt weiter?

Weißt du, wie der Binomialkoeffizient definiert ist?

Also ich habe es vor mir liegen..aber verstehen tu ich die Definition nicht

26.10.2013, 23:10

jimmyt

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe

Zitat:

Original von Simel
...
Also ich habe es vor mir liegen..aber verstehen tu ich die Definition nicht

Ok, also die Def. ist folgende:

$\begin{eqnarray*} \binom n k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 0 \; \land \; n \geq k \end{eqnarray*}$

Ich zeige es dir mal anhand des I.A.:

$\begin{eqnarray*} \text{I.V.:} \quad \sum_{j=0}^k \binom {5+j} j = \binom {5+k+1} k \; \text{mit} \;k \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{I.A.:} \quad k=0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(linke Seite)} \; \sum_{j=0}^0 \binom {5+j} j = \binom {5+0} 0 = \binom 5 0 = \frac{5!}{0! \cdot (5-0)!} = \frac{5!}{1 \cdot 5!} = \frac{5!}{5!} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(rechte Seite)} \; \binom {5+0+1} 0 = \binom {6} 0 = \frac{6!}{0! \cdot (6-0)!} = \frac{6!}{1 \cdot 6!} = \frac{6!}{6!} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{I.S.: zu zeigen:} \; \sum_{j=0}^{k+1} \binom {5+j} j = \binom {5+k+1+1} {k+1} = \binom {5+k+2} {k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \Rightarrow k+1: \quad \sum_{j=0}^{k+1} \binom {5+j} j = \dots \end{eqnarray*}$

Poste mal, was du bisher beim I.S. hast.

26.10.2013, 23:52

Simel

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Also bis zum IA komme ich mit, aber wie ich jetzt weitermachen muss beim Induktionsschluss versteh ich überhaupt nicht..

27.10.2013, 00:40

jimmyt

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe
Ok, ich hatte gehofft, dass du zumindest einen Versuch für den I.S. hast.
Aber gut, vollständige Induktionen mit Binomialkoeffizienten fallen mir auch nicht so leicht. Da bist du nicht der Einzige. Augenzwinkern

Wie wäre es damit:

$\begin{eqnarray*} \text{I.S.: zu zeigen:} \; \sum_{j=0}^{k+1} \binom {5+j} j = \binom {5+k+1+1} {k+1} = \binom {5+k+2} {k+1} = \binom {7+k} {k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \Longrightarrow k+1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \quad \sum_{j=0}^{k+1} \binom {5+j} j = \left ( \sum_{j=0}^{k} \binom {5+j} j \right ) + \binom {5+k+1} {k+1} \stackrel{I.V.}{=} \binom {5+k+1} {k} + \binom {5+k+1} {k+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(5+k+1)!}{k! \cdot (5+k+1-k)!} + \frac{(5+k+1)!}{(k+1)! \cdot (5+k+1-(k+1))!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(6+k)!}{k! \cdot 6!} + \frac{(6+k)!}{(k+1)! \cdot 5!} = \frac{(k+1) \cdot (6+k)! + 6 \cdot (6+k)!}{(k+1)! \cdot 6!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{ (6+k)! \cdot (k+1 + 6)}{(k+1)! \cdot 6!} = \frac{ (6+k)! \cdot (7+k)}{(k+1)! \cdot 6!}= \frac{ (7+k)! }{(k+1)! \cdot 6!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{ (7+k)! }{(k+1)! \cdot (7+k - (k+1))!} = \binom {7+k} {k+1} = \binom {5+k+2} {k+1} \quad \Box \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, vollständige Induktionen mit Binomialkoeffizienten sind auch nicht so einfach.
Das finde ich zumindest. Wenn du noch Fragen hast, dann frage. Augenzwinkern

27.10.2013, 11:07

Simel

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jimmyt ich danke dir für deine Hilfe. Ich versuche jetzt, ein paar Aufgaben nach dem Muster zu rechnen und es zu verinnerlichen. Ich meld mich dann Wink

danke für deine großzügige Hilfe Gott

27.10.2013, 13:02

Iorek

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe

Zitat:

Original von jimmyt
Aber gut, vollständige Induktionen mit Binomialkoeffizienten fallen mir auch nicht so leicht. Da bist du nicht der Einzige. Augenzwinkern

Das sollte aber kein Grund sein, eine Komplettlösung zu liefern, das ist mit unserem Prinzip "Mathe online verstehen!" nicht vereinbar. unglücklich

27.10.2013, 13:05

jimmyt

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe

Zitat:

Original von Iorek
Das sollte aber kein Grund sein, eine Komplettlösung zu liefern, das ist mit unserem Prinzip "Mathe online verstehen!" nicht vereinbar. unglücklich

Ja ok, kommt nicht mehr vor. Augenzwinkern

27.10.2013, 13:38

Simel

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe
Schon mal drüber nachgedacht, dass es Leute gibt, die es vielleicht besser verstehen wenn sie ein Muster vor sich haben?

27.10.2013, 13:53

sulo

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RE: Hilfe bei Induktionsaufgabe
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