Grenzwert berechnen

27.10.2013, 09:33

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwert berechnen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll folgenden Grenzwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x^n(\frac{1}{x^n}+1)}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x^n}\cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{1}{x^n}+1)}=x\cdot \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{x^n}+1)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

was aber mache ich nun mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(\frac{1}{x^n}+1)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ hier kann ich ja den limes nicht in die Klammer ziehen, oder? verwirrt

verwirrt

27.10.2013, 09:36

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Was für Voraussetzungen sind denn an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gestellt? Falls $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ sein soll, kann eine Fallunterscheidung sowie das Sandwichlemma nützlich sein.

27.10.2013, 10:20

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was für Voraussetzungen sind denn an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gestellt?

ja sorry, mein Fehler. x >0.

wie die Fallunterscheidung nützlich ist, verstehe ich jetzt nicht.
aber beim Sandwichlemma kann ich mich mal versuchen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{x^n}} <\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{x^n}+1} < ? \end{eqnarray*}$

leider hab ich auch keine Idee was ich für das Fragezeichen einsetzen könnte.

27.10.2013, 10:22

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Lass mal deine Umformung weg, die kann man zwar vielleicht irgendwie einbauen, aber es ist hier einfacher, mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$ zu arbeiten.

Betrachte einmal die Fälle $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ und versuche da mit Hilfe des Sandwichlemmas eine passende Abschätzung zu finden (bedenke auch: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]q=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ ).

27.10.2013, 10:35

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

okay
Fall 1. $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$
so geht x^n gegen null also bleibt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1}=1 \end{eqnarray*}$

Fall 2. $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$ wenn x unheimlich gross wird, so spielt die +1 keine Rolle mehr. also habe ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$ was gegen x konvergiert.
Muss ich jetzt beide Fälle nach unten sowie nach oben abschätzen? verwirrt

verwirrt

27.10.2013, 10:54

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
okay
Fall 1. $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$
so geht x^n gegen null also bleibt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1}=1 \end{eqnarray*}$

Du kannst nicht einfach den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ bilden und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1} \end{eqnarray*}$ stehen lassen! Teilweises Grenzwert bilden funktioniert nicht. Stattdessen solltest du eine Vermutung für den Grenzwert aufstellen (für $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert tatsächlich 1, aber auch diese Vermutung ist mit deiner Methode nicht haltbar. Mit deinem Vorgehen wäre sonst auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty} 1^n=1 \end{eqnarray*}$ statt dem korrekten Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=e \end{eqnarray*}$ , vergiss das also ganz schnell wieder), dann kann man eine passende Abschätzung finden. So ist z.B. $\begin{eqnarray*} 1\leq 1+x^n \end{eqnarray*}$ und aufgrund der Monotonie der Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]1\leq \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$ , damit hat man schon einmal eine Abschätzung nach unten gefunden.

Anzeige

27.10.2013, 11:19

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ich glaube ich beginne langsam zu verstehen. Ich suche also nach einer Folge, die sicherlich "grösser" ist, aber zu demselben Grenzwert konvergiert.
$\begin{eqnarray*} 1 \leq 1+x^n \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]1\leq \sqrt[n]{1+x^n}\leq \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$

das ist jetzt zwar einfach geraten, aber etwas besseres fällt mir leider nicht ein. unglücklich

unglücklich

27.10.2013, 11:28

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du noch begründen kannst, warum du das nach oben mit 2 abschätzt, wäre das richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2013, 11:36

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn x kleiner als 1 ist, ist 1 + x^n niemals grösser als zwei und natürlich wegen der Monotonie der Wurzel lässt sich das übertragen.
Was aber wenn x nun nicht kleiner gleich 1 ist. ich muss auch diesen Fall beachten, oder? verwirrt

verwirrt

27.10.2013, 11:40

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mal ein bisschen im Arens gestöbert und folgendes gefunden.
Könnte ich nicht $\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} \end{eqnarray*}$ und mit Umformungen und der Bernoulli-Ungleichung eine Abschätzung finden? also jetzt für den Fall, dass x > 1 ist.

27.10.2013, 12:47

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} x^n>1 \end{eqnarray*}$ . Was für einen Grenzwert vermutest du denn eigentlich für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ , ohne diese Vermutung kannst du nämlich sonst keine entsprechenden Abschätzungen machen.

28.10.2013, 08:20

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, $\begin{eqnarray*} 1+x^n \end{eqnarray*}$ für x>1 divergiert sicherlich.
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$ ist eifach x, weil sich ja das n immer wegkürzt.
Wahrscheinlich divergiert auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1+x^n} \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich.

28.10.2013, 22:38

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Über diese Vermutung solltest du nochmal nachdenken. Du hast doch schon in eine richtige Richtung angesetzt, für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das ist hier konstant) ist $\begin{eqnarray*} 1+x^n\approx x^n \end{eqnarray*}$ . Divergiert es dann immer noch sicherlich?

Und: wenn $\begin{eqnarray*} x^n>1 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} 1+x^n<x^n+x^n \end{eqnarray*}$ , diese Abschätzung könnte noch hilfreich sein.

01.11.2013, 12:26

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, noch ein Versuch:

falls $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1<1+x^n\approx x^n <x^n+x^n=2x^n \end{eqnarray*}$
Monotonie der Wurzel ausnützen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1}<\sqrt[n]{1+x^n}\approx \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$

Aber ist nicht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$ gegen x für grosse n? und

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2x^n} = \sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ für grosse n gegen 1 und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$ für grosse n gegen x.

Die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$ würde dann ja nicht stimmen verwirrt

verwirrt

01.11.2013, 12:35

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1}<\sqrt[n]{1+x^n}\approx \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} 1+x^n\approx x^n \end{eqnarray*}$ ist, sollte dir nur eine Idee geben, es sollte hier aber nicht als Abschätzung verwendet werden. Belasse es einfach bei

$\begin{eqnarray*} 1<1+x^n<x^n+x^n=2x^n \end{eqnarray*}$

Deine Anmerkung zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht, wieso sollte das nicht stimmen?

01.11.2013, 12:46

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Deine Anmerkung zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht, wieso sollte das nicht stimmen?

na weil
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2x^n} = \sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray*}$ für grosse n gegen 1 und $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n} \end{eqnarray*}$ für grosse n gegen x. (oder ist das wieder unhaltbares, teilweises Grenzwertbilden?)

dann wäre doch $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$ dasselbe wie $\begin{eqnarray*} x< x \end{eqnarray*}$ und x<x kann nie und nimmer stimmen.

ich versteh das einfach nicht. Forum Kloppe

Forum Kloppe

01.11.2013, 12:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist kein teilweises Grenzwertbilden, aber ein "frühzeitiges" Grenzwertbilden.

Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$ ist für alle (festen) $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gültig. Lediglich der Grenzwert dieser Ausdrücke ist gleich.

Anderes Beispiel ohne Wurzel: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} 1-\frac 1n=1=\lim\limits_{n\to\infty}1+\frac 1n \end{eqnarray*}$ , trotzdem ist $\begin{eqnarray*} 1-\frac 1n<1+\frac 1n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

01.11.2013, 14:44

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt

achso, die Abschätzung ist also

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{1}<\sqrt[n]{1+x^n}\leq\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1+x^n}=x \end{eqnarray*}$
ja?

01.11.2013, 14:56

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade ein kleiner Fehler in der Abschätzung auf; so bringt uns diese noch nicht ans Ziel.

Anstatt $\begin{eqnarray*} 1<1+x^n \end{eqnarray*}$ sollte da eher $\begin{eqnarray*} x^n<1+x^n \end{eqnarray*}$ stehen, ansonsten kann das Sandwichlemma auch nicht angewendet werden.

01.11.2013, 15:20

Alfred Gäbeli

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x^n}<\sqrt[n]{1+x^n}\leq\sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1+x^n}=x \end{eqnarray*}$ für x>1
Okay ich hoffe das stimmt jetzt?
Besten Dank für deine Hilfe Iorek!

01.11.2013, 18:20

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Da noch den Verweis auf das Sandwichlemma und eine Begründung für $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{2x^n} \end{eqnarray*}$ (die du oben ja schon geliefert hast), dann ist das so in Ordnung. Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »