Prädikatenlogik: Folgerung das inverse Implikation keine Tautologie ist

27.10.2013, 11:11	DerFernstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Prädikatenlogik: Folgerung das inverse Implikation keine Tautologie ist Meine Frage: Hallo Zusammen, ich bin neu in dem Forum und bin gerade dabei mir Prädikatenlogik selber beizubringen (per Fernstudium), deswegen bitte ich um etwas Nachsicht :-). Ich bitte euch mir bei der folgenden Aufgabe etwas unter die Arme zu greifen: Es soll bewiesen werden das folgende Formel keine Tautologie ist: $\begin{eqnarray} G=((\forall x\exists y P(x,y)) \Rightarrow \exists u \forall v P(u, v)) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz dafür ist bisher: Ich wähle die Struktur B: U = {a,b}; P {(a,b), (b, a)} Jetzt interpretiere ich die Prädikate wie folgt: $\begin{eqnarray} (\forall x\exists y P(x,y)) \end{eqnarray}$ : Für alle x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U^B existiert ein u $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U^B, sodass gilt P(u, v) $\begin{eqnarray} (\exists u \forall v P(u, v)) \end{eqnarray}$ : Es existiert ein u $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U^B, sodass für alle v $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U^B gilt: P(u, v) Nun hänge ich aber daran den Wahrheitswert der beiden Aussagen auszuwerten, sprich ich verstehe aktuell nicht wie ich diese interpretieren soll respektive auf meine Struktur abbilden kann. z.B. $\begin{eqnarray} (\forall x\exists y P(x,y)) \end{eqnarray}$ : Wie kann ich das darstellen das für alle x ein y existiert? Kann mir jemand einen Tipp geben? Viele Grüße, Sebastian
27.10.2013, 12:08	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist bei mir jetzt zwar schon länger her, aber vielleicht kann ich ja trotzdem helfen. Der zweite Teil der Aussage sagt ja lediglich aus, dass für jedes x ein y existiert, so dass P(x, y) gilt. Allerdings sollst du in der Aufgabe ja lediglich zeigen, dass dies nicht automatisch aus dem ersten Teil folgt. Ich würd die Aufgabe so angehen, dass ich ein P suche, für das die linke Seite der Implikation wahr ist, die rechte Seite aber nicht.
27.10.2013, 12:26	DerFernstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prädikatenlogik: Folgerung das inverse Implikation keine Tautologie ist Erstmal danke für deine Antwort :-) Sicher dass das aus der zweiten Aussage folgt? Hätte eher angenommen dass das aus der ersten Aussage folgt. Bei der zweiten Aussage ist das ja umgedreht, sprich für es existiert ein x so dass für alle y gilt: P(x,y) Wäre z.B. (a,b) -> (a, a) nicht eine Kombination? (da P für (a,a) = 0 liefern würde). Ich glaube eher das mein Problem ist diese Formalen Aussagen zu interpretieren: Für jedes x existiert ein y ist mir klar (das wäre z.B. (a,a), (a,b), (b,a) ,(b,b), wobei für (a,a) und (b,b) der Wahrheitswert falsch wäre) Es existiert ein x, so dass für alle y gilt <= genau diese Formulierung versteh ich irgendwie nicht. Hättest du ein Beispiel wie die Abbildung auf die Formel ausschauen würde?
27.10.2013, 15:28	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, klar. Hab grad die erste und zweite Aussage verdreht gehabt Der zweite Teil sagt natürlich, dass es ein u gibt, so dass für alle v die Aussage gilt. Naja, wenn du zum Beispiel P(a, b) = a hast dann ist mit a = 1 die Formel für jedes beliebige b erfüllt. Diese Formel ist aber bestimmt nicht für jedes a erfüllt, weshalb der erste Teil der Implikation nicht wahr ist (und damit zwar die Implikation nicht verletzt, aber das ist hier unwichtig). Evt. missversteh ich dich auch, aber so wie ich die Aufgabe sehe, musst du nur zeigen, dass es ein bestimmtes P gibt, das die Implikation nicht erfüllt.
09.11.2013, 14:43	DerFernstudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank :-) Jetzt hab ichs verstanden

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