Primzahlenbeweis

Neue Frage »

Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlenbeweis
Hallo!

Ich steck bei einem Beweis, wo mir absolut der richtige Ansatz fehlt :S
Es geht um folgendes:

Es sei die n-te Primzahl (nach Größe gelistet)
Zeigen Sie, dass .

Als Tipp steht noch, wir sollen Ideen aus Euklids Beweis für die unendliche Anzahl von Primzahlen verwenden..

Meine Ansätze bisher:

Wenig bis sehr wenig, ich wollte den Beweis per vollständiger Induktion machen, Induktionsanfang war auch simpel, jedoch habe ich so gar keine Ahnung, wie ich den Induktionsschritt angehen soll.

Für Anregungen wäre ich äußerst dankbar!!

mfg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Sind die ersten Primzahlen, so ist jeder Primteiler von mindestens so groß wie die -te Primzahl.

1. Warum?

2. Damit findest du eine Abschätzung für basierend auf der durch Induktion gegebenen Abschätzung für .
 
 
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort!

Zum Punkt 1: ist eine natürliche Zahl, von der es somit eine Primfaktorenzerlegung gibt kommen dort offensichtlich nicht vor, also sind alle Primteiler von m größer, richtig soweit?

Wie ich damit auf eine Abschätzung komme, weis ich jetzt noch nicht, bin noch am überlegen Big Laugh
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

wäre dies der richtige Ansatz?

mit

?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Letztendlich ist korrekt, aber da geht einiges drunter und drüber...

Wenn du einfach nur: "Es folgt " hinschreibst, würde dir jeder ohne zu zögern glauben, dass du es verstanden hast.

Das, was du da machst, zeugt leider jedoch vom Gegenteil.

1. Warum sollte die Zahl m zufälligerweise genau n Primfaktoren haben.
2. Dass die die Primfaktoren sein sollen, habe ich jetzt geraten...
3. Statt sollte es dann doch eher lauten, wobei der Buchstabe n hier ja wegen 1. sowieso einmal Fehl am Platze ist.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da sind mir tatsächlich einige peinliche Fehler unterlaufen, sorry :S

Um es korrekt zu schreiben:

Sei wobei die Faktoren der Primfaktorzerlegung von m sind.

Es ist dann



Ich habe im Prinzip auch vorhin schon dies gemeint, aber ich hab Summe mit Produkt vertauscht, keine verschiedenen Indizes verwechselt, lauter blöde Fehler :S

Besser?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Besser, aber so richtig klar kommst du bei der Benutzung der Induktionsvorraussetzung noch nicht...
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, wieder so ein blöder Fehler, zu schnell eingesetzt..

Es sollte heissen



Besser?

Vielen lieben Dank für das ausbessern Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so passt es.

Man kann übrigens mit sehr leichten Argumenten (ohne so Hammer wie die Aussage, dass zwischen n und 2n stets eine Primzahl liegt) die Abschätzung deutlich verbessern:

Jede Zahl zwischen und ist auf eindeutige Weise das Produkt einer quadratfreien Zahl und einem vollständigen Quadrat.

Dabei kommen in der quadratfreien Zahl nur Primfaktoren vor und für das Quadrat gibt es nur höchstens Möglichkeiten.

Folglich gilt , was zu führt. Für ist diese Abschätzung schärfer und für große natürlich viel viel besser.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die Argumentation nachvollziehen, aber was ich nicht sehe ist, wo hier eingeht, dass zwischen n und 2n immer eine primzahl liegt, dieses Argument haben wir auch nicht in der Vorlesung besprochen, wo würde ich dies denn brauchen, rein interessehalber?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne das zu benutzen, habe ich doch geschrieben Augenzwinkern
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gemeint, wo dieses Argument in dem Beweis, bei dem ich um Hilf. Gebeten habe, eingeht :-)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht nirgends ein.

Ich wollte damit nur sagen, dass man selbst die Abschätzung noch deutlich verbessern kann. Allerdings bedarf es dazu relativ schwere Geschütze, d.h. elementare Argumentationen reichen nicht mehr.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt hab ich's verstanden, ich und meine Interpretationen....danke!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »