Inverses von Polynom in Körper

27.10.2013, 14:43

Viriditas

Inverses von Polynom in Körper

Hallo

Ich soll das Inverse von $\begin{eqnarray*} 3x^2+1 \end{eqnarray*}$ in GF(125) isomorph zu $\begin{eqnarray*} Z_{5}[x]/(x^3+x+1) \end{eqnarray*}$ finden.

Ich weiß, dass das Inverse von der Form $\begin{eqnarray*} a_{0} + a_{1}x +a_{2}x^2 \end{eqnarray*}$ sein muss (also der Grad ist um eins geringer als der Grad des Moduls/irreduziblen Polynoms)

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 1\equiv (3x^2+1)*(a_{0} + a_{1}x +a_{2}x^2) mod (x^3+x+1, 5) \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} 1\equiv 3a_{2}x^4+3a_{1}x^3+(3a_{0}+a_{2})x^2+a_{1}x+a_{0} mod (x^3+x+1, 5) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich den Koeffizientenvergleich machen und da habe ich Probleme. Wie mache ich das am besten? Also ich kann ja mal $\begin{eqnarray*} 1\equiv a_{0} mod 5 \end{eqnarray*}$ setzen, womit mein $\begin{eqnarray*} a_{0}=1 \end{eqnarray*}$ ist. Wie müssen die anderen Koeffizienten vor den Summanden aussehen? Und was passiert genau mit dem $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ? Deren Koeffizienten müssten doch Null sein, oder?

Danke im Voraus!

Edit Equester: Verschoben Wink

27.10.2013, 15:34

micha_L

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RE: Inverses von Polynom in Körper
Hallo,

immer die gleiche Antwort auf so die Frage, wie man multiplikaitve Inverse in Restklassenringen bestimmt: euklidischer Algorithmus!

Mfg Michael

27.10.2013, 15:35

Viriditas

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Ich möchte aber bitte mit obiger Methode fortfahren.

EDIT: Denn wie soll ich $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1 / 3x^2+1 \end{eqnarray*}$ berechnen? Was ergibt x^3 durch 3x^2? Etwa 2x?

EDIT: mir erscheint das insgesamt um einiges komplizierter, deshalb habe ich auch meinen Ansatz gewählt.

27.10.2013, 15:51

micha_L

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Hallo,

Zitat:

Original von Viriditas
Ich möchte aber bitte mit obiger Methode fortfahren.

Ok, ist dir ja unbenommen. Viel Spaß dabei.

Zitat:

EDIT: Denn wie soll ich $\begin{eqnarray*} x^3+x^2+1 / 3x^2+1 \end{eqnarray*}$ berechnen? Was ergibt x^3 durch 3x^2? Etwa 2x?

Bitte setze Klammern, das ist so unlesbar.

Zitat:

EDIT: mir erscheint das insgesamt um einiges komplizierter, deshalb habe ich auch meinen Ansatz gewählt.

Hm, stichelnderweise muss ich jetzt sagen: Lieber ein um einiges komplizierteres Verfahren, mit dem man zum Ziel kommt, als ein einfaches, mit dem man es nicht schafft.

Bedenke: Bei mir ist der Anfang (vielleicht) komplizierter, dafür aber auch nur der. Parallelen ergeben sich bei den Inversen etwa von $\begin{eqnarray*} \bar 3 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}_7^*,\cdot,\bar 1,{}^{-1}) \end{eqnarray*}$ .
Bei dir ist nur der Anfang einfach. Überlege also selbst, wo du vielleicht einer Selbsttäuschung unterliegst!

Mfg Michael

EDIT: Typo

27.10.2013, 15:59

ollie3

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hallo,
@veriditas: bedenke, das wir hier in Z_5 sind, das heisst, wenn du z.B
(x^3+x^2+1) : (3x^2+1) ausrechnen willst, das x^3 zu 6x^3 äquivalent ist, und dann geht die sache
wieder...
gruss ollie3

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