Aussagenlogik

27.10.2013, 17:37

jan21

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Aussagenlogik

Wie zeige ich

$\begin{eqnarray*} ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a > 0 \Rightarrow 1/a > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Für das 2. dachte ich:

$\begin{eqnarray*} "\Rightarrow" \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a > 0 \Rightarrow a * (1/a^2) > 0 * (1/a^2) \Rightarrow a/a^2 > 0 \Rightarrow 1/a > 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \blacksquare \end{eqnarray*}$

27.10.2013, 22:42

jan21

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RE: Aussagenlogik
Also ich brauche keine Lösung, nur einen Ansatz.. wie kann ich daran arbeiten?

29.10.2013, 11:33

klarsoweit

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RE: Aussagenlogik
Hilfreich wäre die originale wortgenaue Aufgabenstellung.

Desweiteren können Angaben zu dem Gesamtzusammenhang helfen:
Aus welcher Menge stammen a und b?
Welche Axiome und daraus abgeleitete Sätze können als bekannt verwendet werden?
...

29.10.2013, 11:58

jan21

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RE: Aussagenlogik
Meine Fragen:

1) Zeige, dass folgende Aussage $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt. Geben Sie dabei die Körperaxiome an, die Sie benutzen.

$\begin{eqnarray*} ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \end{eqnarray*}$

2) Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall a\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a > 0 \Rightarrow 1/a > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:

Zu deiner Frage, welche Axiome/Sätze ich nutzen darf... willst du, dass ich dir alle Sätze aufzähle, die wir bis jetzt in der Vorlesung hatten? Das sind Einige. Also wir dürfen auf jeden Fall die üblichen Axiome der Addition und Mutiplikation nutzen. Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Inverse, neutrales Element der Add./Multi., Anordnungsaxiome, etc..

Idee 2):

$\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a * \dfrac{1}{a^2} > 0 * \dfrac{1}{a^2} \end{eqnarray*}$ (Monotoniegesetz)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \dfrac{a}{a^2} > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \dfrac{1}{a} > 0 \end{eqnarray*}$

29.10.2013, 12:57

klarsoweit

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RE: Aussagenlogik
Für $\begin{eqnarray*} ab=0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0 \end{eqnarray*}$ mußt du beide Richtungen zeigen. Die Richtung <== ist eigentlich trivial.
Für die Richtung ==> nimmst du an, daß a ungleich 0 ist. Dann betrachte b = 1 * b . Die 1 kannst du mit Hilfe des multiplikativen Inversen von a auch anders schreiben.

Für $\begin{eqnarray*} a > 0 \Rightarrow 1/a > 0 \end{eqnarray*}$ würde ich so vorgehen: nimm an, daß 1/a < 0 und somit -1/a > 0 ist. Multipliziere das Ganze nun mit a.

29.10.2013, 17:38

jan21

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Wieso $\begin{eqnarray*} b = 1 \cdot b \end{eqnarray*}$ ? Versteh ich nicht...

Und wenn ich bei $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{a} > 0 \end{eqnarray*}$ a mulltipliziere, dann habe ich $\begin{eqnarray*} -1 > 0 \end{eqnarray*}$ ... da steige ich auch nicht hinter, inwiefern mir diese Aussage weiterhilft.. unglücklich

unglücklich

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30.10.2013, 08:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von jan21
Wieso $\begin{eqnarray*} b = 1 \cdot b \end{eqnarray*}$ ? Versteh ich nicht...

Da 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, gilt doch wohl $\begin{eqnarray*} b = 1 \cdot b \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von jan21
Und wenn ich bei $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{a} > 0 \end{eqnarray*}$ a mulltipliziere, dann habe ich $\begin{eqnarray*} -1 > 0 \end{eqnarray*}$ ... da steige ich auch nicht hinter, inwiefern mir diese Aussage weiterhilft.. :

In einem angeordneten Körper ist 1 > 0. Du erhältst hier also einen Widerspruch.

30.10.2013, 16:58

jan21

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Ich versteh's nicht.. unglücklich

unglücklich

Keine Ahnung, was ich jetzt machen soll!

30.10.2013, 17:02

klarsoweit

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RE: Aussagenlogik
Das hatte ich schon gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Die 1 kannst du mit Hilfe des multiplikativen Inversen von a auch anders schreiben.

Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} 1 = a^{-1} \cdot a \end{eqnarray*}$ ? Das lag doch auf der Hand, oder?

30.10.2013, 17:02

jan21

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Soll ich dann beim multiplikativen Inversen statt x b einsetzen? Normal haben wir es als ax=1 definiert. Aber nichtsdestotrotz verstehe ich nicht, woher du das b auf der linken Seite nimmst bei b=1b.

30.10.2013, 17:08

klarsoweit

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Also die 1 ist doch das neutrale Element bezüglich der Multiplikation. Richtig?

Jetzt nehme ich an, daß a * b = 0 ist.

Fall 1: a = 0 Dann ist der Käs gegessen
Fall 2: a ist ungleich Null.
Dann gibt es zu a ein multiplikativ Inverses $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ , so daß also $\begin{eqnarray*} a^{-1} \cdot a = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Wegen dem allerersten Satz ganz oben ist: $\begin{eqnarray*} b = 1 \cdot b = (a^{-1} \cdot a) \cdot b \end{eqnarray*}$
Jetzt noch das Assoziativgesetz anwenden und man ist quasi am Ziel.

30.10.2013, 17:27

jan21

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Ja, ich habe das neutrale Element der Multiplikation irgendwie vergessen... kein Wunder, dass ich mich wunder, was du da schreibst!

Gut,
$\begin{eqnarray*} b = 1 \cdot b \end{eqnarray*}$ | Einfügen von multiplikativen Inversen
$\begin{eqnarray*} b = (a^{-1} \cdot a) \cdot b \end{eqnarray*}$ | Assoziativgesetz
$\begin{eqnarray*} b = a^{-1} \cdot (a \cdot b) \end{eqnarray*}$ | Annahme $\begin{eqnarray*} a \cdot b = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = a^{-1} \cdot 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Muss ich den anderen Weg auch noch zeigen, oder reicht das so?

31.10.2013, 08:49

klarsoweit

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Ja, das ist jetzt der Beweis für die Richtung "==>". Jetzt mußt du noch die Richtung "<==" beweisen.

31.10.2013, 21:32

jan21

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1. Fall $\begin{eqnarray*} a = 0, b \neq 0 \Rightarrow a \cdot b = 0 \cdot b = b \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
2. Fall $\begin{eqnarray*} a \neq 0, b = 0 \Rightarrow a \cdot b = a \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
3. Fall $\begin{eqnarray*} a = 0, b = 0 \Rightarrow a \cdot b = 0 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

31.10.2013, 23:21

jan21

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Neue Aufgabe!
Meine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb{R}, b \neg 0, \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow ab > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \frac{a}{b} > 0 | \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot b}{b} > 0 \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a > 0. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " ab > 0, mit b = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \cdot 1 > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a > 0. \blacksquare \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da sind sicherlich Fehler, aber ich komm einfach nicht dahinter, wo und wie ich diese Aufgabe angehe. So einfach kann es ja nicht sein..

Oder könnte man bei $\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$ auch zwei Fälle b > 0 und b < 0 annehmen, dann die Gleichtheit von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ beweisen?

01.11.2013, 09:26

klarsoweit

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RE: Neue Aufgabe!

Zitat:

Original von jan21
1. Fall $\begin{eqnarray*} a = 0, b \neq 0 \Rightarrow a \cdot b = 0 \cdot b = b \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
2. Fall $\begin{eqnarray*} a \neq 0, b = 0 \Rightarrow a \cdot b = a \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
3. Fall $\begin{eqnarray*} a = 0, b = 0 \Rightarrow a \cdot b = 0 \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung?

Im Prinzip ja, aber eigentlich reicht der Fall a = 0, b beliebig. Da ist der 3. Fall enthalten und der 2. Fall ergibt sich aus dem Kommutativgesetz.

Zitat:

Original von jan21
Meine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b \in \mathbb{R}, b \neg 0, \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow ab > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \frac{a}{b} > 0 | \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot b}{b} > 0 \cdot b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a > 0. \end{eqnarray*}$

Erstmal sollst du gar nicht zeigen, daß a > 0 ist, und zweitens könnte b < 0 sein, so daß bei der Multiplikation mit b die Richtung des Ungleichheitszeichens nicht beibehalten werden kann. Warum multiplizierst du nicht gleich mit b² ? Das ist in jedem Fall positiv.

Zitat:

Original von jan21
$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " ab > 0, mit b = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \cdot 1 > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a > 0. \blacksquare \end{eqnarray*}$

Warum setzt du b=1? verwirrt

verwirrt

Und auch hier "beweist" du etwas, was gar nicht verlangt ist.

01.11.2013, 10:09

jan21

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Ich habe jetzt einfach per Kontraposition bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} - \frac{a}{b} < 0 \Leftrightarrow -ab < 0. \end{eqnarray*}$ Daraus folgt ja, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow ab > 0. \end{eqnarray*}$

Denke, das sollte auch in Ordnung sein, oder?

01.11.2013, 10:57

klarsoweit

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Dann zeig doch mal den Beweis. Die Wahrscheinlichkeit erscheint mir recht hoch, daß du da auch wieder zu einem Phantombeweis gegriffen hast.

Außerdem: warum verwendest du nicht meinen Vorschlag?

01.11.2013, 11:10

jan21

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$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow "<br /> -ab < 0 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} \cdot b < 0 \cdot b<br /> \Leftrightarrow - a < 0<br /> \Leftrightarrow - a \cdot b < 0 \cdot b<br /> \Leftrightarrow -ab < 0. < 0 \cdot b<br /> <br /> " \Leftarrow "<br /> -ab < 0 \Leftrightarrow -ab \cdot b^{-1} < 0 \cdot b^{-1}<br /> \Leftrightarrow -a < 0<br /> \Leftrightarrow -a \cdot b^{-1} < 0 \cdot b^{-1}<br /> \Leftrightarrow - \frac{a}{b} < 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt (nach Kontraposition), dass $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow ab > 0 \end{eqnarray*}$

01.11.2013, 11:15

jan21

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Ich habe deinen Vorschlag nicht benutzt, da ich die Aufgabe gestern abend zu Ende gemacht habe und heute morgen noch mit dir teilen wollte..

Reicht denn für $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow ab > 0.<br /> <br /> \Leftrightarrow \frac{a}{b} \cdot b^2 > 0 b^2<br /> \Leftrightarrow ab > 0. \end{eqnarray*}$

Reicht das? Ich bin diesen Weg vorher gegangen.. dachte dann aber, das kann nicht richtig sein. Wir beziehen uns hier ja auf das Monotoniegesetz.. eigentlich macht es Sinn.. aber irgendwie war und bin ich mir nicht sicher!

01.11.2013, 11:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von jan21
$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow "<br /> -ab < 0 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} \cdot b < 0 \cdot b<br /> \end{eqnarray*}$

Vermutlich sollte da stehen:
$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow "<br /> -\frac a b < 0 \Leftrightarrow - \frac{a}{b} \cdot b < 0 \cdot b<br /> \end{eqnarray*}$
Aber auch hier - und das hatte ich oben schon angekreidet - ignorierst du, daß b < 0 sein könnte, und dann stimmt die Folgerung nicht.

Ich wiederhole die Frage: warum verwendest du nicht meinen Vorschlag?

01.11.2013, 11:18

jan21

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Habe deinen Vorschlag verwendet, im Posting über deinem Letzten. So ist das wirklich in Ordnung? Muss ich die andere Richtung auch zeigen?

01.11.2013, 11:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von jan21
Reicht denn für $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} > 0 \Leftrightarrow ab > 0.<br /> <br /> \Leftrightarrow \frac{a}{b} \cdot b^2 > 0 b^2<br /> \Leftrightarrow ab > 0. \end{eqnarray*}$

Reicht das?

Formal sollte das besser so aussehen: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} > 0 \Rightarrow \frac{a}{b} \cdot b^2 > 0 \cdot b^2 \Rightarrow ab > 0 \end{eqnarray*}$

Nun noch die andere Richtung.

01.11.2013, 11:30

jan21

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Aber auch hier könnte doch b < 0 sein. Und dann wäre die Aussage ja nur wahr, wenn auch a < 0, oder nicht?

01.11.2013, 11:40

jan21

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$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$
1. Fall $\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ab > 0 \Rightarrow ab \cdot b^{-1} > 0 \cdot b^{-1} \Rightarrow a < 0. \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ab > 0 \Rightarrow ab \cdot -b^{-1} > 0 \cdot -b^{-1} \Rightarrow -a < 0 ( \Leftrightarrow a > 0 ). \end{eqnarray*}$

Passt das so??

01.11.2013, 12:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von jan21
Aber auch hier könnte doch b < 0 sein. Und dann wäre die Aussage ja nur wahr, wenn auch a < 0, oder nicht?

Es geht nicht darum, zu untersuchen, wann a/b > 0 ist. Es geht nur um den Beweis der Aussage: wenn a/b > 0 ist, daß dann auch a*b > 0 ist.

Zitat:

Original von jan21
$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$
1. Fall $\begin{eqnarray*} b < 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} a < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ab > 0 \Rightarrow ab \cdot b^{-1} > 0 \cdot b^{-1} \Rightarrow a < 0. \end{eqnarray*}$

Erstens ist die Folgerung $\begin{eqnarray*} ab > 0 \Rightarrow ab \cdot b^{-1} > 0 \cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$ falsch, weil b^{-1} negativ ist und zweitens kommt am Ende wieder etwas raus, was gar nicht zu zeigen war. Auch hier hilft mein Vorschlag, nur nimmst du 1/b² . Da b² positiv ist, ist auch das Inverse positiv (siehe die 2. Aufgabe in deinem 1. Beitrag).

01.11.2013, 12:44

jan21

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Und wenn ich jetzt die Äquivalenz nachweise, ist die Aufgabe gelöst, oder?

01.11.2013, 12:55

klarsoweit

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Nun ja, der Nachweis der Äquivalenz gestaltet sich meistens einfacher, wenn man eben die beiden Richtungen einzeln beweist. Wenn man den Beweis mit Äquivalenzumformungen gestaltet, dann muß man auch bei jedem Einzelschritt prüfen, ob auch die Äquivalenz vorhanden ist. Da geht man leicht drüber weg, weil es ja so einfach ist, kommentarlos <==> zu schreiben. smile

smile

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