Maßtheorie

27.10.2013, 21:52

Noah

Maßtheorie

Meine Frage:
Folgende Aufgabe kann ich ohne Eure Hilfe nicht lösen:

Finden Sie ein Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal B) \end{eqnarray*}$ mit folgenden Eigenschaften:

- $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich.
- $\begin{eqnarray*} \mu([a,b]) = \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} [a,b],a<b \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
- Das Lebesgue-maß kann es nicht sein, da $\begin{eqnarray*} \lambda([a,b])=b-a<\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ungleich unendlich.
- Das Zählmaß kann es auch nicht sein da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist.

Habt ihr andere Ideen. Ich tendiere schon fast dazu zu meinen, dass kein solches Maß existiert.

28.10.2013, 06:10

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maßtheorie

Zitat:

Original von Noah
- Das Zählmaß kann es auch nicht sein da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist.

Ist aber schonmal ein guter Ansatz. Das gesuchte Maß sollte nicht alle reellen Zahlen zählen, sondern eine andere Klasse von Zahlen.

28.10.2013, 13:06

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

Scheinbar muss mein Zählmaß dann über eine abzählbare Menge zählen.

Sei $\begin{eqnarray*} \zeta: \mathcal B \rightarrow \mathbb Q, \zeta(B)=\sum\limits_{k\in \mathbb Q}\chi_B(k), \forall B \in \mathcal B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ misst also die Anzahl der rationalen Zahlen in einer Menge $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal B \end{eqnarray*}$

- $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist abzählbar und lässt sich daher als Vereinigung einelementiger Mengen darstellen: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q = \bigcup\limits_{i \in \mathbb N} \{q_i\} \end{eqnarray*}$

Also ist die Forderung der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Endlichkeit erfüllt mit:
- $\begin{eqnarray*} \mathbb R = \bigcup\limits_{i \in \mathbb N}(q_i,q_{i+1}) \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} q_i \in \mathbb Q,\forall i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \zeta((q_i,q_{i+1})=0<\infty \end{eqnarray*}$ aber

- $\begin{eqnarray*} \zeta([q_i,q_{i+1}])=\infty,\forall i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Gedanken zu - $\begin{eqnarray*} \zeta((q_i,q_{i+1})=0<\infty \end{eqnarray*}$ :

Setze $\begin{eqnarray*} q_i = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_{i+1} = \epsilon > 0 \in \mathbb Q. \end{eqnarray*}$ Zwischen 0 und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sind nur reelle Zahlen. Daher die Behauptung.

Meine Gedanken zu - $\begin{eqnarray*} \zeta([q_i,q_{i+1}])=\infty,\forall i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :

Es gilt $\begin{eqnarray*} |[0,q_1]\cap\mathbb Q|=|\mathbb N| \end{eqnarray*}$

Ich glaube aber immer noch nicht dass ich richtig liege. unglücklich

28.10.2013, 13:26

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich merk grad selbst, dass das oben völliger quatsch ist.

$\begin{eqnarray*} \zeta(\mathbb R) = \zeta(\bigcup\limits_{i \in \mathbb N}[q_i,q_{i+1}])\leq \sum\limits_{i \in \mathbb N} \zeta([q_i,q_{i+1}]))=0 \end{eqnarray*}$ Widerspruch! unglücklich

28.10.2013, 14:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch's doch schlicht mal mit

$\begin{eqnarray*} \mu(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) = 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \mu(\{x\}) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du "nur" noch eine Mengenfolge $\begin{eqnarray*} E_n\nearrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(E_n)<\infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ angeben - das müssen ja nicht notwendig Intervalle sein... Augenzwinkern

28.10.2013, 14:08

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ so definiert wie mein $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ oben? Denke schon, oder?

Mir würde außerdem beim besten Willen nicht einfallen wie sich die reellen Zahlen als abzählbare Vereinigung von Mengen darstellen lassen kann, ohne dass diese Mengen Intervalle sein dürfen.

28.10.2013, 14:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe bei dir immer Intervalle $\begin{eqnarray*} (q_i,q_{i+1}) \end{eqnarray*}$ , was mich ein wenig irritiert: Schließlich existiert sowas wie eine monotone (!) Abzählung der rationalen Zahlen nicht. unglücklich

28.10.2013, 14:20

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass wir mir bis vor Kurzem nicht bewusst. Aber ich verstehe nicht wie ich eine Mengenfolge finden kann, die das erfüllt was du schreibst. Ohne das die $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ Intervalle sein dürfen. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ lässt sich doch nicht durch Punktmengen abdecken.

Vielen Danke für Eure Mühe, übrigens!

28.10.2013, 14:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh doch, das geht sehr wohl.

28.10.2013, 14:28

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir bitte bisschen mehr auf die Sprünge helfen, mein Kopf raucht...

Wenn es keine Intervalle sind, dann müssten es Mengen anderer Art sein, und zwar Mengen die Lücken haben, nicht vollständig sind. Und eine abzählbare Vereinigung lückenhafter Mengen bleibt immer lückenhaft, also nie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

28.10.2013, 14:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine mögliche, m.E. naheliegende Festlegung für die $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ wäre

$\begin{eqnarray*} E_n = (\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}) \cup \left\{ \frac{p}{q} \biggm| p,q\in\mathbb{Z},\;|p|\leq n,\;0<q\leq n \right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \mu(E_n) \leq n(2n+1) < \infty \end{eqnarray*}$ , und man findest jede rationale Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} E_{\max\{|p|,q\}} \end{eqnarray*}$ , und die irrationalen sowieso.

28.10.2013, 14:41

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für deine Hilfe, ich muss das erstmal verdauen. Verstehen tu' ich das noch nicht. Vor allem was dein Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ genau macht, sehe ich noch nicht. Zählt es die rationalen Zahlen in einer Menge?

Aber Tausend Dank, ich arbeite mich da schon durch.

28.10.2013, 14:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Noah
Zählt es die rationalen Zahlen in einer Menge?

Ja. Und da jedes Intervall positiver Länge (egal ob offen oder geschlossen) unendlich viele rationale Zahlen enthält, kommt auch für $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ das gewünschte $\begin{eqnarray*} \mu([a,b])=\infty \end{eqnarray*}$ heraus.

28.10.2013, 18:06

Noah

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Maßtheorie
Vielen Dank HAL_9000!! Jetzt versteh' ich es.

Neue Frage »

Antworten »

Maßtheorie

Verwandte Themen