Äquivalenz von geordneten Paaren (Kuratowski Darstellung)

28.10.2013, 08:51	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von geordneten Paaren (Kuratowski Darstellung) Hi, folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} a, b, a', b' \end{eqnarray}$ Mengen. zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: 1. $\begin{eqnarray} \left\{ \left\{ {a, b}\right\},\left\{ {a}\right\} \right\} = \left\{ \left\{ {a', b'}\right\},\left\{ {a'}\right\} \right\} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} a = a' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = b' \end{eqnarray}$ Meine Idee: Es gilt per Definition (aus dem Skript) $\begin{eqnarray} \left\{ \left\{ {a, b}\right\},\left\{ {a}\right\} \right\} = \left(a, b\right) \end{eqnarray}$ . Beweis der Äquivalenz: $\begin{eqnarray} (a, b)= (a', b') <=> (a, 0) \cup (0, b) = (a', 0) \cup (0, b') <=> a \cup b = a' \cup b' <=> a und b = a' und b' <=> a = a' und b = b' \end{eqnarray}$ Beim letzten Schritt wird ausgenutzt, dass die Reihenfolge bei geordneten Paaren wichtig ist, weshalb man z.B. a = b' ausschließen kann.
28.10.2013, 17:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hat die 0 hier zu suchen ? Der Rest deines Beweisversuchs ist mir unklar. Das muss viel einfacher gehen, und das tut es auch. $\begin{eqnarray} 2.\Rightarrow 1. \end{eqnarray}$ ist trivial, und die Umkehrung geht in 2 einfachen Schritten über die Betrachtung der beteiligten Mengen.

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