Ungleichung - quadratische Gleichung

28.10.2013, 10:57

Duinne

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Ungleichung - quadratische Gleichung

Meine Frage:
Hallo Leute,

folgende Ungleichung ist gegegeben:

$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+1\geq 0 \end{eqnarray*}$

Die reele Lösungsmenge soll gefunden werden.

Meine Ideen:
Ich habe für die Ungleichung die pq-Formel angewandt und meine Lösung ist leer.
Dennoch ist die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ -\infty ,\infty \right\} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand erklären, warum das so ist?

Vielen Dank für eure Unterstützung!

Liebe Grüße
Duinne

28.10.2013, 11:11

klarsoweit

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Dazu müßte man wissen, was du gerechnet hast; leider haben wir hier keine Glaskugel. geschockt

geschockt

28.10.2013, 11:19

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Entschuldigung, der Übermut.

$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+1\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2} \right) ^{2} -1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ -\infty\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

Das habe ich gerechnet. Deswegen verstehe ich das Ergebnis nicht.

28.10.2013, 11:21

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Sorry, diese Lösungsmengenangabe

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ -\infty\right\} \end{eqnarray*}$

entfällt, ich habe etwas Falsches kopiert.

28.10.2013, 11:29

klarsoweit

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Deine Herangehensweise ist insgesamt eher fragwürdig. Du könntest allenfalls argumentieren, daß die Parabel $\begin{eqnarray*} y = x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$ nach oben geöffnet ist und keine Nullstellen hat. Damit ist die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2 + x + 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle x aus R erfüllt.

Besser ist es, den Term x^2 + x + 1 zu faktorisieren oder wenigstens in die Scheitelpunktform zu bringen.

28.10.2013, 11:49

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Ich hab das getan, was mir eingefallen ist.

Die Scheitelpunktsform wäre

$\begin{eqnarray*} \left(x+0,5\right) ^{2}-0,75 \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt damit?
Ich kann erkennen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und keine Nullstellen hat.

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28.10.2013, 12:50

klarsoweit

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung

Zitat:

Original von Duinne
Die Scheitelpunktsform wäre

$\begin{eqnarray*} \left(x+0,5\right) ^{2}-0,75 \end{eqnarray*}$

Gerade in dieser Form hätte die Parabel Nullstellen, was also den Verdacht nährt, daß diese Darstellung falsch ist.

28.10.2013, 13:54

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Ich habe mich im Vorzeichen vertan:

$\begin{eqnarray*} \left(x+0,5\right) ^{2}+0,75 \end{eqnarray*}$

Dennoch hat diese Funktion keine Nullstellen.
Wie kannmir diese Form dabei helfen, die Lösung zu verstehen?

28.10.2013, 14:32

klarsoweit

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung

Zitat:

Original von Duinne
Dennoch hat diese Funktion keine Nullstellen.

Natürlich hat die Parabel keine Nullstellen, wie man leicht an der Scheitelpunktform $\begin{eqnarray*} y = \left(x+0,5\right)^2 + 0,75 \end{eqnarray*}$ erkennen kann. Da das Quadrat einer Zahl immer >= Null ist, ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} \left(x+0,5\right)^2 + 0,75 \geq 0 \end{eqnarray*}$ , um mal wieder auf die ursprüngliche Aufgabe zurückzukommen.

28.10.2013, 14:38

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Japp, und weiter?

28.10.2013, 15:04

HAL 9000

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Da gibt's nicht viel "und weiter": klarsoweit hat dargelegt, dass für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left(x+0{,}5\right)^2 + 0{,}75 \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Und was war gleich nochmal die Aufgabenstellung:

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+1\geq 0 \end{eqnarray*}$

Die reele Lösungsmenge soll gefunden werden.

Wirklich immer noch Fragen?

28.10.2013, 15:13

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Ich wollte wissen, warum die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ -\infty ,\infty \right\} \end{eqnarray*}$

lautet.
Wenn

$\begin{eqnarray*} x^{2}+x+1\geq 0 \end{eqnarray*}$

wie kann es dann minus unendlich sein?

28.10.2013, 15:24

klarsoweit

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung

Zitat:

Original von Duinne
Ich wollte wissen, warum die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ -\infty ,\infty \right\} \end{eqnarray*}$

lautet.

Steht das so im Lösungsbuch? Ich finde die Schreibweise nicht wirklich hilfreich und wenn man es genau genimmt zumindest formal falsch.

Besser: $\begin{eqnarray*} L= \left\{ x | x \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ oder einfach $\begin{eqnarray*} L = \mathbb R \end{eqnarray*}$

28.10.2013, 15:26

HAL 9000

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geschweifte Klammern hier unsinnig
Es stand wohl eher $\begin{eqnarray*} (-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ da.

28.10.2013, 15:32

jan21

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x² ist immer positiv, deswegen hast du x aus R und nicht x aus R+. Klar soweit?

28.10.2013, 15:44

Duinne

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RE: Ungleichung - quadratische Gleichung
Da liegt mein Fehler. Es sind normale Klammern. Aber was sagt das jetzt aus? Gbt man damit tatsächlich nur das Intervall an? Dann hätte das minus undendlich eigentlich nichts mit der Aussage, dass die gleichung >= 0 sein muss, zu tun.

28.10.2013, 16:01

klarsoweit

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RE: geschweifte Klammern hier unsinnig
Das "minus unendlich" ist die linke Grenze deines Lösungsintervalls. Du mußt dir einfach mal klar machen, was $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ im Grunde bedeutet.

28.10.2013, 16:20

Duinne

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RE: geschweifte Klammern hier unsinnig
Genau das war meine Frage. Es ist nur das Intervall.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruß
Duinne

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