Vollständige Induktion - Höhere Mathematik

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MixMadde Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion - Höhere Mathematik
Meine Frage:
Guten Tag,
Habe vor kurzem mein Studium in Maschinenbau begonnen und in
Höhere Mathematik war vollständige Induktion das erste Thema. Dieses Thema hatten wir nicht in der Schule, weswegen ich darin nicht wirklich Erfahrung habe. In einer Übungsaufgabe kam nun eine Induktion dran, bei der ich einfach nicht weiterkomme. Da wird es irgendeinen Trick geben, aber das übersteigt meine Fähigkeiten.

Aufgabe: Beweise folgende Aussage:
;

Vielen Dank im voraus!

Meine Ideen:
Induktionsanfang: n=2

Von hier aus dann Induktionsschritt (ich lasse IH aus):
für n: n+1

und hier versagen alle mir bekannten Maßnahmen, weil sich auch die ersten Summenglieder in Abhängigkeit der oberen Grenze verändern. Die übliche Herangehensweise mit dem Auskoppeln des letzten Summenglieds ist hier ein wenig schwierig anzuwenden. Zwar habe ich festgestellt, dass

und nach IA daher die Summe ,
aber das irgendwie in eine korrekt bewiesene Form zu bringen ist eine zweite schwierige Sache, zumal ich vermutlich erneut die vollständige Induktion anwenden müsste, und ob mich das weiterbringt ist dann nochmal eine andere Frage.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es fast, nur noch die Induktionsannahme bzw. Induktionsvoraussetzung einsetzen.
Und dann noch ein bischen rechnen ... Augenzwinkern

Zitat:
Original von MixMadde
... aber das irgendwie in eine korrekt bewiesene Form zu bringen ist eine zweite schwierige Sache ...


Wie wäre es damit:

(1) Induktionsanker: n=2



(2) Induktionsschluß:
a) Induktionsannahme/ Induktionsvoraussetzung: Es gibt ein n >= 2 für das gilt:

b) Induktionsbehauptung:

c) Induktionsschritt: n -> n+1:






Kleiner Tipp:
Schau dir das hier mal genauer an. Augenzwinkern
MixMadde Auf diesen Beitrag antworten »


Da n>0 ist ist der Nenner beim zweiten Summanden immer Positiv und der Bruch somit ebenfalls. Nach IA ist zudem , somit wäre die Annahme bewiesen.

Jetzt schau ich mir geschwind deinen Beweis an, und hoffentlich ist die Aufgabe dann geknackt Big Laugh

[Edit] Dass laut Induktionsanfang kleiner als leuchtet mir schon ein, aber wie kann ich denn beweisen, dass
=
ist? Oder hast du das bereits gemacht und ich blick' es nur nicht?
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sieht gut aus. Viel Rechenarbeit, aber ok. Augenzwinkern
Und setze noch irgendwann die I.V. im Induktionsschritt ein.

Aber ich glaube es geht noch deutlicher bzw. offensichtlicher.
Was ich meinte ist folgendes:



Ich wäre ab hier so vorgegangen:













Augenzwinkern


Aber deins ist schon ok.

Zitat:
Original von MixMadde

... aber wie kann ich denn beweisen, dass

=

ist? ...


Voilá:

MixMaddeErsatz Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Hab leider nicht die Zeit gefunden früher zu antworten, jetzt geht's mit der Uni allmählich richtig los. Aber jetzt kann ich endlich wieder ruhig schlafen und morgen selbstsicher die Rechnungen zu den Aufgaben abgeben.

Vielleicht hab ich dann ja zu den nächsten Übungen wieder ein paar Fragen Big Laugh
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