Wahrscheinlichkeitsrechnung

28.10.2013, 17:18

aendue1

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Meine Frage:
ufgabenstellung
Eine Güteinspektionssystem erkennt von Eisenbahnschienen 98,9% tatsächlich vorhandene Risse, hält jedoch vorhandene Zunderrest auch für Risse mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,1%.
Häufigkeit von Rissen auf 1 km: 0,35
Häufigkeit von Zunder auf 1 km: 22
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das wirklich ein Riss bei einer Rissmeldung vorhanden ist?

Meine Ideen:
Leider hab ich keine wirklich Idee.

Eine bedingt Wahrscheinlichkeit liegt ja nicht vor, weil die 2 Ereignisse unabhängig von einander sind.

28.10.2013, 22:03

HAL 9000

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Fassen wir die Gesamtheit aller Risse und Zunderreste als "Störungen" auf. Diese Angabe

Zitat:

Original von aendue1
Häufigkeit von Rissen auf 1 km: 0,35
Häufigkeit von Zunder auf 1 km: 22

kann man bei angenommener Unabhängigkeit als Poissonintensität der beiden Störungstypen entlang der Schienenstrecke auffassen. Dabei kann man davon ausgehen, dass jede Störung entweder ein Riss oder ein Zunderrest ist, aber nicht beides zugleich.

In dem Sinne sind dann folgende Ereignisse hier von Interesse:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... eine zufällig ausgewählte Störung ist ein Riss

$\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ ... eine zufällig ausgewählte Störung ist ein Zunderrest

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... Störung wird als Riss klassifiziert

Dann ist

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{0.35}{0.35+22}, \; P(A^c) = \frac{22}{0.35+22}, \; P(B \mid A) = 0.989, \; P(B \mid A^c) = 0.021 \end{eqnarray*}$

Und gesucht ist hier $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) \end{eqnarray*}$ .

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