Vollständige Induktion. Was tun mit n und k?

28.10.2013, 18:06

goldfisch91

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Vollständige Induktion. Was tun mit n und k?

Ich habe folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x^{n-k}y^{k-1} \end{eqnarray*}$

Ich möchte jetzt den Induktionsschluss machen, doch leider bin ich ein bisschen verwirrt dass dort n und k auftreten nach dem Summenzeichen. Ich muss hier trotzdem nur n+1 für n schreiben, stimmts? Ein Kommilitone meinte dass ich das auch mit k machen müsste.

28.10.2013, 18:22

kgV

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Nein, wenn du die Induktion über n machst, dann brauchst du die k's nicht anzutasten...
also "nur" aus jedem beteiligten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ machen

Lg
kgV
Wink

Wink

28.10.2013, 18:29

goldfisch91

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Danke, bin jetzt hier bei der vollständigen Induktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}-y^{n}+x^{n-k+1}y^{k-1}x-y }{x-y} \end{eqnarray*}$

wobei ich noch sagen muss, dass x,y reelle Zahlen sind und x != y, x != 0 und y != 0

Ich weiß grad nicht wie ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y} \end{eqnarray*}$

schließen kann

28.10.2013, 18:35

kgV

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$\begin{eqnarray*} x!=0 \end{eqnarray*}$ ist schon mal nicht möglich, die Fakultät startet mit ihren Werten erst bei 1...

Außerdem weiß ich gar nicht, wo das Ganze hinführen soll - was ist denn die Induktionsbehauptung?
Wie wäre es außerdem, wenn du kurz deine Rechnung darlegst?

Danach kann ich dir sicher besser weiterhelfen smile

smile

28.10.2013, 18:44

goldfisch91

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Sorry für die Verwirrung, ich meine mit != "ungleich".

Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x^{n-k}y^{k-1} = \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 x^{n+1-k}y^{k-1} = \frac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y} <br /> <br /> \sum\limits_{k=1}^n+1 x^{n-k}y^{k-1} + x^{n+1-k} y^{k-1} = (Induktionsannahme)<br /> <br /> \frac{x^{n}-y^{n}}{x-y} + x^{n+1-k} y^{k-1} = \frac{x^{n}-y^{n}+x^{n-k+1}y^{k-1}x-y }{x-y} \end{eqnarray*}$

Im letzten schritt habe ich deb zweiten Summanden mit x-y erweitert.

EDIT: die +1 in der Summe soll da nicht hin, krieg die aber auch grad nicht raus. also direkt nach dem summenzeichen das.

28.10.2013, 18:52

kgV

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IS: rechte Seite passt, links geht das leider nicht so einfach:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}x^{n+1-k}y^{k-1}=x^{n+1-(n+1)}y^{(n+1)-1}+\sum_{k=1}^nx^{n+1-k}y^{k-1} \end{eqnarray*}$

So, nun hast du das Problem, dass der Exponent von x in der Summe nicht mit dem der IV übereinstimmt.... Welches Potenzgesetz könnte Abhilfe schaffen?

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28.10.2013, 19:00

goldfisch91

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Einfach ein x ausklammern? also dass da dann dass x^+1 neben dem x^n-k steht?

Warum muss man denn n+1 mit k austauschen?

EDIT: Und warum bleibt im rechten Summanden das n+1 stehen, dass mus doch rausgezogen werden. unglücklich

unglücklich

28.10.2013, 19:03

kgV

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Ja, x ausklammern stimmt Freude

Freude

Zur anderen Frage: wenn du das letzte Glied abspalten willst, dann musst du zur Summe mit verändertem oberen Index das letzte Glied dazuzählen. Dieses Glied ist jenes, bei dem für die Summationsvariable $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der letzte Wert, also $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt wurde. Wie du sehen kannst, entsteht dabei der Term, den ich vor die Summe geschrieben habe

28.10.2013, 19:19

goldfisch91

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OK, verstehe ich. Aber müsste n+1 im x dort nicht schon durch deinen Schritt rausgezogen worden sein? Denn vorher stand da n und durch den Induktionsschluss kam erst das +1 dazu, dadurch dass du den neuen Summanden da hast, hast du doch auch n+1 rausgezogen (bzw das +1) oder nicht?

28.10.2013, 19:28

kgV

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Nein, denn bezüglich der Summe ist n eine Konstante - n bleibt immer gleich, nur $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ändert sich. Wenn du dann einen Summanden herausziehst, dann ändert sich die Variable, nicht die Konstanten.

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}2^{k+1} \end{eqnarray*}$

Wegen der Potenzgesetze gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}2^{k+1}=\sum_{k=1}^{n+1}2^k\cdot 2=2\cdot\left(\sum_{k=1}^{n+1}2^k\right) \end{eqnarray*}$

Nun ziehen wir den letzten Summanden aus der Summe:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\left(2^{n+1}+\sum_{k=1}^n2^k\right) \end{eqnarray*}$

Dein Versuch wäre der:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}2^{k+1}=2^{n+1}+\sum_{k=1}^n2^k \end{eqnarray*}$
Nun sieht man aber deutlich, dass die richtige Lösung das Doppelte deiner Lösung betragen würde - nämlich die Multiplikation mit jener 2, die du aus dem Exponenten verschwinden lassen möchtest Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2013, 19:38

goldfisch91

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Zitat:

Original von kgV
IS: rechte Seite passt, links geht das leider nicht so einfach:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}x^{n+1-k}y^{k-1}=x^{n+1-(n+1)}y^{(n+1)-1}+\sum_{k=1}^nx^{n+1-k}y^{k-1} \end{eqnarray*}$

So, nun hast du das Problem, dass der Exponent von x in der Summe nicht mit dem der IV übereinstimmt.... Welches Potenzgesetz könnte Abhilfe schaffen?

ja, ok. ich habe jetzt das x^1 ausgeklammert und dann die induktionsannahme eingesetzt. ich kann da aber leider nicht den induktionsschluss beweisen unglücklich

unglücklich

. ich weiß du hast mir das jetzt quasi vorgekaut, aber kannst du mir diesen schritt noch erklären?

28.10.2013, 19:45

kgV

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Vorgekaut habe ich dir quasi nix, nur meine Erklärungen sehr weitläufig untermalt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast also auf jeden Fall noch einige Erklärungen gut, dazu sind wir doch hier smile

smile

Wenn ich dich richtig verstehe, hast du , nachdem du x ausgeklammert hast, die IV verwendet?
Dann hättest du ja nur noch einen Bruch plus einen Summanden stehen...und zwar diesen hier: $\begin{eqnarray*} x^{n+1-(n+1)}y^{(n+1)-1}+x\cdot\left(\frac{x^n-y^n}{x-y}\right) \end{eqnarray*}$

Bleiben noch wenige Fragen zu klären:
1. Was ist denn der erste Summand konkret? Wie kannst du den vereinfachen?
2. Wie sieht der Bruch aus, wenn du ihn mit x multiplizierst?

Danach musst du nur noch den ersten Summanden auf den Bruchstrich hieven (Stichwort "erweitern"), dann steht der Induktionsschluss fertig da smile

smile

28.10.2013, 20:14

goldfisch91

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Die Klammern verwirren mich ein bisschen. Ich muss doch einfach das x in den Zähler ziehen oder?

28.10.2013, 20:17

kgV

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Ja.

28.10.2013, 21:17

goldfisch91

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Ich habs jetzt, vielen Dank für deine Hilfe. Eine Frage habe ich noch:

Wenn man das x in den Zähler reinzieht, muss man x mit x^n und y^n multiplizieren nicht einfach reinziehen und mit einem von beiden multiplizieren, richtig?

28.10.2013, 21:20

kgV

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Richtig, du musst laut dem Distributivgesetz beide Summanden mit x multiplizieren smile

smile

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