Extremwertaufgabe anhand eines Quaders

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Bullop Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe anhand eines Quaders
Hallo,

habe mir zur Übung eine weitere Extremwertaufgabe herausgesucht.

Die AUfgabenstellung lautet :

Welche Abmessungen sind für einen Quader mit möglichst großem Volumen zu wählen, wenn folgende Einschränkungen zu beachten sind!

Länge, Breite und Höhe dürfen zusammen max 90 betragen, die Breite muss 2/3 der Länge betragen.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Skizze: siehe Anhang

Geg.: a=2/3b Ges.: V max

Lös.:

V = a*b*c
u= 2a+2b


Bin mir unsicher ob der Anfang richtig ist.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe anhand eines Quaders
Du brauchst den Umfang nicht. Abgesehen davon ist der Begriff "Umfang" bei einem Körper ehe ungewöhnlich. Augenzwinkern

Du hast eine HB, die Volumenformel.

Aus dem Text kannst du 2 NBs aufstellen. Die eine hast du schon in der Zeichnung angedeutet.

smile
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe anhand eines Quaders
a=Länge
b=Breite
c=Höhe

Du kannst b und c durch a ausdrücken:

b=(2/3)a

a+b+c=90
c=90-a-b
c=90-a-(2/3)a=90-(5/3)a
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbedingungen :

Bedingung 1 :

b=2/3*a

Bedingung 2 :

V= a*b+*c , umgestellt nach c ---> c= V/b*a

dann für das b die oben stehende Gleichung einsetzen, also c=V/2/3*a*a

Wenn man das jetzt zusammenfassen würde könnte man auf 1,67V/a² =c kommen.


Wäre das so in etwa richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte doch gesagt, dass die Volumenformel die HB ist. Augenzwinkern

Die Größe, die den Extremwert haben soll, muss immer die HB sein. Hier ist es das Volumen, also ist die Volumenformel die Grundlage für die HB.

Die zweite NB findest du hier:
Zitat:

Länge, Breite und Höhe dürfen zusammen max 90 betragen


smile

edit: Deine Rechnung sieht zwar richtig aus, allerdings hast du da eben noch zu viele Variablen drin und du hast die Volumenformel schon mit verwendet.
Als Grundlage für die Extremwertberechnung kannst du deine Umformung also nicht verwenden. Augenzwinkern
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Das das Volumen die Hauptbedingung ist war mir schon klar, bloß ich dachte das dazu jetzt noch 2 Gleichungen für die Nebenbedingungen kämen. Deshalb habe ich versucht 2 Gleichungen aufzustellen.

Könnte die Nebenbedingung dann so heißen:

a+b+c=90 ?
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, das ist die zweite NB. Freude
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss man die NB a+b+c=90 ausrechnen.



bc (90-b-c)



hierbei bin ich mir unsicher
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, was machst du da gerade? verwirrt

Um es noch mal klarzustellen: Wir haben

- die HB: V = a · b · c (die zu maximierende Größe)


- 1. NB: b=2/3*a (die Breite beträgt 2/3 der Länge)

- 2. NB: a+b+c=90

Die 1. NB verwendest du, um das b in der HB durch einen Ausdruck mit a zu ersetzen.
Die 2. NB kannst du nun verwenden, um das c zu eliminieren.
Stelle sie also zunächst nach c um.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist gerade unklar wie ich die 1. NB - b in der HB durch einen Ausdruck mit a zu ersetze.

Bei der 2.NB wäre c= -a-b+90 ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullop
Mir ist gerade unklar wie ich die 1. NB - b in der HB durch einen Ausdruck mit a zu ersetze.

Du hast: V = a · b · c
Du weißt: b = 2/3 · a

Das ergibt: V = a · 2/3 · a · c Augenzwinkern


Zitat:
Original von Bullop
Bei der 2.NB wäre c= -a-b+90 ?


Ja Freude , oder eleganter: c = 90 - a - b

Und auch hier kann das b durch den Ausdruck aus der 1. NB ersetzt werden.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde die Gleichung daraufhin folgendermaßen aussehen:

V=a*2/3a*90-a-2/3a ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht im Prinzip richtig aus, du hast allerdings die notwendige Klammer nicht gesetzt.
Außerdem kannst du noch etwas zusammenfassen.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

V=(2/3a²)*(90-a-2/3a) ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Schon besser. Freude
(Die erste Klammer ist allerdings nicht notwendig, höchstens für die Optik. Augenzwinkern

V=2/3a²*(90-a-2/3a)

V=2/3a²*(90-5/3a)

Ich würde jetzt noch die Klammer auflösen, also ausmultiplizieren, dann kann abgeleitet werden.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir erklären, wie man auf bei , im eingeklammerten Teil auf die
90- 5/3a kommt?

Ausmultipliziert erhalte ich :

sulo Auf diesen Beitrag antworten »

-a - 2/3 a = - 3/3 a - 2/3 a = -5/3 a Augenzwinkern

Der Rest stimmt. Freude

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zu -3/3a ist es bei mir noch nachvollziehbar, aber warum dann nichmal -2/3a verwirrt

f ' (x) = - 30/9a² -120a
f ''(x) = -60/9a - 120 ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitungen stimmen Freude , auch wenn man kürzen könnte.
edit: Die Ableitungen müssen so lauten:
f ' (a) = - 30/9a²+120a
f ''(a) = - 60/9a +120
Ich habe das Minus übersehen.
Danke an MatheIstLustig für das aufmerksame Lesen des Threads. Freude

Zur deiner Frage: Gib in den TR ein: -1 - 2/3 und schau, was da rauskommt. Augenzwinkern

Ich muss jetzt leider off, kann morgen weiter helfen.

Wink
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Achso man muss es aus der Sicht sehen ---> -1a -2/3a

d.h. erst -a -2/3a = 3/3a

und jetzt muss ich mir vor dem -a nich die 1 denken das die da noch steht und dshalb noch -1 rechnen oder?

Okay, danke bis dahin und eine Gute Nacht Augenzwinkern
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bullop
Achso man muss es aus der Sicht sehen ---> -1a -2/3a

Freude


Zitat:
Original von Bullop
d.h. erst -a -2/3a = 3/3a

verwirrt

Wie kann, wenn du von etwas Negativem etwas subtrahierst, etwas Positives herauskommen? Augenzwinkern

Vielleicht hilft es, wenn du das Minus ausklammerst: -a -2/3 a = -(a + 2/3 a) = -(.....) = - .....

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, habe das minus vergessen :

also so oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, es sieht etwas schräg aus, mal steht ein a, mal nicht.
Aber ich denke, du hast es verstanden. Freude
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

f '(x) = 120a -30/9a²

Wenn man die -30/9 jetzt vorne haben stehen möchte ändert sich dann das Vorzeichen?





Nun setze ich die erste Ableitung f ' (x) = 0



Hier kann man ausklammern, da in jedem Summanden ein a vorhanden ist.

-----> a1 = 0






sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Freude

Das zweite Ergebnis a = 0 kommt nicht als Lösung für die Aufgabe in Betracht. Das hätte man ggf. auch durch einen Definitionsbereich ausschließen können.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Super smile

Wir haben nun a und b. Also kann ich nun c ausrechnen in diese Gleichung:

?



sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, hast du das mit einem TR gerechnet? verwirrt

Der Ansatz stimmt, das Ergebnis ist leider falsch.
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

ups schuldige
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Und somit haben wir unsere 3 Abmessungen :

a = 36

b = 2/3 * a = 24

c = 30

Das alles zusammenaddiert kommt man genau auf 90

36+24+30 = 90

Und das wäre die AUfgabe schon geswesen oder?


Wenn jetzt noch zusätzlich dastehen würde berechnen sie noch das max. Volumen, müsste man da folgendermaßen vorgehen?

Man schaut sich a1 und a2 an, die als Ergebnis entstanden, also a1 =0 und a2 = 36

Die setzt man in die 2. ABleitung ein.

Beide ergeben <0 -->max

und das Ergebnis der a's muss man nun in diese Gleichung einsetzten oder?

V= 2/3a² (90 - 5/3a) ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist zunächst die Lösung, da ja nach den Abmessungen gefragt wurde.

Wie ich schon geschrieben hatte, kann man durch einen sinnvoll gewählten Definitionsbereich die Lösung a = 0 ausschließen.

Ja, es ist richtig mit Hilfe der zweiten Ableitung zu überprüfen, ob man tatsächlich ein Maximum gefunden hat. Freude

Um das Volumen zu berechnen kannst du auch ganz einfach deine gefundenen Werte für a, b und c in die Volumenformel V = a·b·c einsetzen.
Dein Weg ist natürlich genauso gut möglich und führt zum gleichen Ergebnis.

smile

edit:
Zitat:

Beide ergeben <0 -->max

Das geht natürlich nicht, es können nicht nur 2 Maxima vorhanden sein. Augenzwinkern
Das Maximum liegt bei a = 36, für a = 0 erhalten wir ein Minimum (f''(0) = 120).
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Ja kommt beides das gleiche Ergebnis raus.

Wenn man a = 36 in die V = 2/3a² (90 - 5/3a) einsetzt erhält man 25 920 hmm jetzt die Frage welche Maßeinheit, steht nix im Text beschrieben verwirrt

Und wenn man a,b und c in die Formel V= a*b*c einsetzt kommt man ebenfalls auf 25 920.

Könnte der sinnvoll gewählte Definitionsbereich so lauten:

D=R / {0} ?

oder D = R*
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Steht das wörtlich so im Text:
Zitat:
Länge, Breite und Höhe dürfen zusammen max 90 betragen,

Oder gibt es nicht doch eine Längeneinheit hinter der 90? Augenzwinkern

Den Definitionsbereich für a muss man auch nach oben hin einschränken.
a kann auf keinen Fall größer als 90 sein, weiterhin wissen wir das b = 2/3 a sind, auch das muss im Definitionsbereich berücksichtigt werden.
Auch für b muss man dieses Verhältnis beachten.

Der Definitionsbereich für c ist am einfachsten:

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm könnte dann für a der DB so aussehen?

D = { a &#8712; R I 0 < ^ > 90 }
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm könnte dann für a der DB so aussehen?

D = { a E R I 0 < ^ > 90 }
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich sagte ja, dass hier auch das Verhältnis von a zu b berücksichtigt werden muss.

Wenn a z.B. 81 wäre, dann wäre b 2/3 davon, also 54.
A und b können zusammen aber nicht größer als 90 sein.

Der Definitionsbereich für a wäre
=> Wenn a 54 wäre, dann wäre b 2/3 davon, also 36, zusammen wäre es 90.
Da wir ja unter 54 bleiben, wird auch die 90 nicht ganz erreicht und c wird > 0.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es dann nicht heißen das c < 0 wird, wenn die 90 nicht ganz erreicht wird?

Mir ist unklar warum im DB für a , c steht.

Muss dann es für b dann auch dann ungefähr auch so aussehen:

D = { c E R >I 0 < c < 24 }
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

c muss ja größer als 0 sein, sonst hätten wir keine Seite c. Augenzwinkern
Es stimmt also schon. Augenzwinkern


b kann theoretisch schon größer als 24 sein.
Wenn b 24 ist, dann wäre a 24 : (2/3) = 24 · 3/2 = 36
Und 36 +24 = 60.
Da wäre noch viel Luft bis 90. Augenzwinkern


edit:
Zitat:
Original von Bullop
Mir ist unklar warum im DB für a , c steht.

Das ist mir beim Kopieren der Formel passiert. Da habe ich vergessen, aus dem c ein a zu machen. Sorry. Habe ich gerade verbessert.

smile
Bullop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
c muss ja größer als 0 sein, sonst hätten wir keine Seite c. Es stimmt also schon. b kann theoretisch schon größer als 24 sein.


Okay jetzt klingt es logisch smile



Ich versuchs nochmal mit den DB für b

D = {b E R I 0 < b < 60 }
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn b 60 ist, dann wäre a 60 : (2/3) = 60 · 3/2 = 90

a ist also dann schon alleine 90, daher ist 60 zu viel für b.

smile
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