Ungleichung mit Integralen

28.10.2013, 20:08

Oktober

Ungleichung mit Integralen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} f: \left[0,1\right] \rightarrow \left(0, \infty \right) \end{eqnarray*}$ Riemann-integrierbar mit $\begin{eqnarray*} inf_{\left[0,1\right]}f > 0 \end{eqnarray*}$ . Welches der folgenden Integrale ist größer:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x)log(f(x)) \, dx , \int_0^1 \! f(x) \, dx \cdot \int_0^1 \! log(f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Beweisen Sie die entsprechende Ungleichung.

Meine Ideen:
Also, meiner Meinung nach ist die richtige Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x)log(f(x)) \, dx > \int_0^1 \! f(x) \, dx \cdot \int_0^1 \! log(f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ . (Sie ist eigentlich sogar gleich, wenn f konstant, aber eben größer 0 ist, wegen der Voraussetzung). Mein Problem liegt jedoch im Beweis des Ungleichung. Zwar kann ich ja annehmen, dass eine Stammfunktion F existiert, aber beim Integrieren scheitere ich dann trotzdem bzw. es hilft mir nicht beim Abschätzen. Bisher sieht es so aus (nicht vollständig integriert):

$\begin{eqnarray*} F(1)log(f(1))-F(0)log(f(0))-\int_0^1 \! \frac{F(x)f'(x)}{f(x)} \, dx > F(1)\int_0^1 \! log(f(x)) \, dx -F(0)\int_0^1 \! log(f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke im Voraus. smile

29.10.2013, 10:48

Guppi12

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Hallo,

Eine Stammfunktion kannst du nicht voraussetzen, da nur gesagt ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar ist. Von Stetigkeit oder Existenz einer Stammfunktion steht da nichts.

Du kannst dir mal überlegen, dass folgendes Integral $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\int_0^1 [f(x)-f(y)][\log(f(x))-\log(f(y)] \mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das hast, kannst du die Klammern mal ausmultiplizieren und das Integral aufteilen in die Teile mit $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und die mit $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ .

Dann musst du nochmal scharf hinsehen (oder nochmal fragen, wenn es hakt).

29.10.2013, 15:36

Oktober

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Also, dass das Integral >0 ist, hab ich mir jetzt anhand einiger Beispiele klar gemacht. Gilt als Begründung, dass ja f>0 auf [0,1] und die Logarithmusfunktion monoton wachsend ist? Wie man jedoch auf dieses Integral anhand der Aufgabenstellung kommen kann, ist mir leider nicht klar.

Ich hab das Integral, dann auch mal ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^1 \! (f(x)log(f(x))+f(y)log(f(y))) \, dx \, dy - \int_0^1 \! \int_0^1 \! (f(x)log(f(y))+f(y)log(f(x))) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$

Nur kann ich daran leider nicht so viel erkennen. Im linken Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^1 \! (f(x)log(f(x))+f(y)log(f(y))) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ steht natürlich der Term aus der Ungleichung und genaugenommen ist es ja sogar zwei Mal der selbe Term nur mit verschiedenen Variablen. Kann ich den vielleicht durch einen Term ersetzen? Nur das Integral mit den Mischtermen irritiert mich ziemlich... Hast du da noch einen Tipp für mich?

29.10.2013, 16:02

Guppi12

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Zitat:

und die Logarithmusfunktion monoton wachsend ist?

das ist die entscheidende Begründung. Man kann ja die Fälle $\begin{eqnarray*} f(x)\geq f(y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) < f(y) \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Aufgrund der Monotonie des Logarithmus gilt dann aber die gleiche Ungleichung für $\begin{eqnarray*} \log(f(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log(f(y)) \end{eqnarray*}$ . Daher haben beide Klammern immer das gleiche Vorzeichen. Ein Produkt aus zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist natürlich immer positiv.

Zitat:

sogar zwei Mal der selbe Term nur mit verschiedenen Variablen.

Ja genau, wenn du den auseinanderziehst, steht da ja

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\int_0^1f(x)\log(f(x))\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\int_0^1\int_0^1f(y)\log(f(y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ . Du kannst im zweiten Teil erst die Integrationsreihenfolge ändern und dann die Variablennamen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ tauschen. Dann bleibt also $\begin{eqnarray*} 2\int_0^1\int_0^1f(x)\log(f(x))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ stehen. Genauso kannst du auch mit dem anderen Teil vorgehen. Danach kannst du in dem ersten Teil die Integration nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durchführen, es hängt ja nicht mehr von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab.

Edit:

Zitat:

Wie man jedoch auf dieses Integral anhand der Aufgabenstellung kommen kann, ist mir leider nicht klar.

Dass man damit die Aufgabe lösen kann, wirst du noch sehen.
Dass man darauf kommt, ist nicht so einfach, da habe ich auch etwas länger für gebraucht Augenzwinkern

Ich kann nochmal näher auf das Finden dieses Integrals eingehen, wenn du die Aufgabe gelöst hast. Mache ich das jetzt, verrate ich zu viel vom Lösungsweg.

29.10.2013, 17:30

Oktober

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Ah ok, dann war mein Gedanke ja doch nicht so falsch. Meine Ungleichung sieht dann bisher so aus:

$\begin{eqnarray*} 2 \int_0^1 \! f(x)log(f(x)) \, dx - 2 \int_0^1 \! \int_0^1 \! (f(x)log(f(y)) \, dx \, dy >0 \end{eqnarray*}$

Die 2 kann ich ja noch rauskürzen und das rechte Integral sieht ja schon so aus, wie in der gefragten Ungleichung. Nur wie ich das linke Integral noch umformen soll, weiß ich leider nicht. Integrieren geht ja schlecht wegen der 2 Variablen. Brauche ich hier vielleicht noch eine Abschätzung? Denn eine direkte Umformung zu $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx \cdot \int_0^1 \! log(f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ kenne ich leider nicht.

29.10.2013, 17:39

Guppi12

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Zitat:

Denn eine direkte Umformung zu $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx \cdot \int_0^1 \! log(f(x)) \, dx \end{eqnarray*}$ kenne ich leider nicht.

Die gibt es aber Augenzwinkern

Der Faktor $\begin{eqnarray*} \log(f(y)) \end{eqnarray*}$ hängt ja nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, kann also aus dem Integral über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ herausgezogen werden. Danach ist aber das gesamte Integral über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur noch ein Faktor in dem Integral über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , kann also aus diesem herausgezogen werden.

29.10.2013, 21:52

Oktober

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Na klar!

Ich hab gar nicht bedacht, dass das Integral über x als Faktor bei dem Integral über y angesehen werden kann. Und wenn ich dann y am Schluss noch umtaufe, hat man tatsächlich die direkte Umformung. Vielen Dank! Deine Erklärungen waren echt super hilfreich und sehr gut zu verstehen! Freude

Jetzt im Nachhinein macht natürlich auch der Term am Anfang Sinn. Aber darauf muss man echt erst mal kommen.

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