Potenzmenge

28.10.2013, 20:40

Lynn2

Potenzmenge

Meine Frage:
Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} 2^{M} = P(M) \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge einer Menge M. Schreiben Sie alle Elemente von $\begin{eqnarray*} 2^{2^{2^{leere Menge}}} = P(P(P(leere Menge))) \end{eqnarray*}$ auf.

Meine Ideen:
Meine Lösung ist $\begin{eqnarray*} {leere Menge,{leere Menge},{{leere Menge}}} \end{eqnarray*}$ .
Ist das richtig? Ich vermute mal nicht, weil ich die 2 nicht mit beachtet habe.

28.10.2013, 21:29

Math1986

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RE: Potenzmenge
Die "Zwei"? $\begin{eqnarray*} 2^{M} = P(M) \end{eqnarray*}$ ist doch ein und dieselbe Notation für die Potenzmenge.

Achte doch darauf, dass die Klammern in deinen Formeln richtig dargestellt werden, so ist deine Formel doch unverständlich unglücklich

Verwende \{ bzw \}.

Du hast bei dir ein Element vergessen, sonst stimmt es:
$\begin{eqnarray*} \left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\},\left\{\left\{\emptyset\right\}\right\},\left\{\emptyset,\left\{\emptyset\right\}\right\}\right\} \end{eqnarray*}$

28.10.2013, 21:34

Lynn2

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RE: Potenzmenge
Sorry, dass es mit den Klammern nicht so geklappt hat, wie ich es wollte. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 2^{M} \end{eqnarray*}$ ist also generell eine Umschreibung für die Potenzmenge?

Gibt es für diese Aufgabe auch Beispiele mit natürlichen Zahlen, damit ich das noch besser verstehe?

28.10.2013, 21:36

Math1986

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RE: Potenzmenge

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} 2^{M} \end{eqnarray*}$ ist also generell eine Umschreibung für die Potenzmenge?

Zitat:

Original von Lynn2
Gibt es für diese Aufgabe auch Beispiele mit natürlichen Zahlen, damit ich das noch besser verstehe?

Wie meinst du das? Schau einfach mal im Internet, wie die Potenzmenge definiert ist, oder nimm dir ein Lehrbuch zur Hand, dazu gibt es einige andere Beispiele.

28.10.2013, 21:40

Lynn2

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RE: Potenzmenge
Ich meine, wie es zum Beispiel ist, wenn M = {1,2,3,4} ist.

28.10.2013, 21:43

Math1986

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RE: Potenzmenge

Zitat:

Original von Lynn2
Ich meine, wie es zum Beispiel ist, wenn M = {1,2,3,4} ist.

Dann kannst du dir selbst mal überlegen, wie davon die Potenzmenge aussieht.

29.10.2013, 18:09

Elvis

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Die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} M=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} |P(M)|=|2^M|=2^{|M|}=2^4=16 \end{eqnarray*}$ Elemente.
Daher kommt diese hübsche Schreibweise $\begin{eqnarray*} P(M)=2^M \end{eqnarray*}$ .

29.10.2013, 18:20

Lynn2

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Danke.

29.10.2013, 18:22

Leopold

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@ Elvis

Ich würde noch weiter gehen und die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ als Zeichen für eine zweielementige Menge $\begin{eqnarray*} \{ 0,1 \} \end{eqnarray*}$ ansehen. $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ ist dann die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray*} \{ 0,1 \} \to M \end{eqnarray*}$ . Jede solche Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ kann über Ja-Nein-Entscheidungen hinsichtlich der Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ identifiziert werden:

$\begin{eqnarray*} \varphi(x) = \begin{cases} 1, & x \in A \\ 0, & x \not \in A \end{cases} \end{eqnarray*}$

EDIT (Korrektur)
Oben muß es natürlich andersherum heißen: $\begin{eqnarray*} M \to \{ 0,1 \} \end{eqnarray*}$

29.10.2013, 18:25

Elvis

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Auch das ist wahr, allerdings sind es die Abbildungen von M nach {0,1}.

29.10.2013, 18:28

Leopold

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Ja, natürlich, wie man auch der Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ entnehmen kann. Finger1

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