Markov-Ketten Übergangsmatrix

28.10.2013, 20:42	DaCaeser	Auf diesen Beitrag antworten »
Markov-Ketten Übergangsmatrix Meine Frage: Hey Gemeinde, ich stehe gerade vor folgendem Problem. Ich habe mit $\begin{eqnarray} (X_n,n\geq0) \end{eqnarray}$ eine diskrete homogene Markov-Kette gegeben und mit $\begin{eqnarray} (N_t,t\geq 0) \end{eqnarray}$ den gewöhnlichen Poisson-Prozess zum Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Wir betrachten $\begin{eqnarray} Y_t:=X_{N_t} \end{eqnarray}$ . Das damit eine Markov-Kette gegeben ist, die Zeit-stetig also $\begin{eqnarray} T=[0,\infty) \end{eqnarray}$ und homogen ist, ist "relativ" leicht gezeigt. Nun soll ich aber die Überganswahrscheinlichkeiten bestimmen und seinen Generator. (Aufgabe in englisch, also falls du ein anderes Wort hinter den von mir verwendeten vermutest könntest du evtl. nicht falsch liegen ^^) Meine Ideen: Wegen der Homogenität weiß ich ja $\begin{eqnarray} p_{i,j}(t_1,t_2)=p_{i,j}(0,t_2-t_1) \end{eqnarray}$ aber irgendwie weiß ich ja nichts über $\begin{eqnarray} (X_n,n\geq0) \end{eqnarray}$ , sondern nur etwas zur Intensität von $\begin{eqnarray} (N_t,t\geq 0) \end{eqnarray}$ .
30.10.2013, 03:23	DaCaeser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markov-Ketten Übergangsmatrix An und für sich muss ich ja $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(Y_{t_1}=j \| Y_{t_2}=i) \end{eqnarray}$ bestimmen. nun ist aber $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(Y_{t_1}=j \| Y_{t_2}=i)=\mathbb{P}(X_{N_{t_2}}=j \| X_{N_{t_1}}=i) \end{eqnarray}$ Wie bekomme ich die Abhängigkeit von den Poisson-Prozess in den Griff?
30.10.2013, 14:48	DaCaeser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markov-Ketten Übergangsmatrix Ich kann doch zumindest sagen $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(X_{N_{t_2}}=j \| X_{N_{t_1}}=i)=\begin{cases}\mathbb{P}(X_{n+1}=j \| X_n= i), & N_{t_2}=N_{t_1}+1 \\ \mathbb{P}(X_{n+1}=j), & N_{t_2}-N_{t_1}>1 \\ \mathbb{P}(X_{n+1}=j \| X_n= i)=0, & N_{t_2}=N_{t_1}\end{cases} \end{eqnarray}$

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