Äquivalenzrelation

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation
Meine Frage:
Guten Abend liebe Communtiy smile

Aufgabe:
Gegeben sei die Relation R={(1,1),(1,2),(1,4),(5,6)(6,6)}. Ergänzen Sie R mit möglichst wenig Elementen, sodass R eine Äquivalenzrelation auf A = {1,2,3,4,5,6} wird. Geben Sie die dazugehörige Einteilung in Äquivalenzklassen an.

Meine Ideen:
zur ersten Teilaufgabe:
Ich bin der Meinung, dass es ausreicht, die Relation mit (2,1) und (2,4) zu erweitern, damit dies eine Äquivalenzrelation ist. Was meint ihr?

zur zweiten Teilaufgabe;
Mir wird leider nicht klar, was eine Äquivalenzklasse ist. Die Definitionen im Internet verwirren mich immer weiter, deshalb nun hier mein Hilferuf. :-P

Vielen Dank für eure Hilfe schon im Voraus. smile
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
1) Nun, sind bei deiner Ergänzung denn alle Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt? Bitte auch alle nachweisen.

2) Äquivalenzklassen sind eben (maximale) Teilmengen, deren Elemente allesamt zueinander äquivalent sind.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
1) Die Relation muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.

reflexiv: (1,1),(6,6) - Muss ich hier noch alle anderen aufführen (z.B. (4,4)) oder reicht es, wenn ich nur die beiden aufführe, weil dadurch die Transivität bereits gezeigt wird. (Es heißt ja auch in der Aufgabe, dass ich es mit so wenig wie möglich Elementen ergänzen soll)

symmetrisch: (1,2), (2,1) - Auch hier die Frage, reicht dieses Beispiel?!

transitiv: (1,2) und (2,4) -> (1,4)

2) Vielen Dank für die kurze Aussage. - Was bedeutet äquivalent in diesem Falle?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Zitat:
Original von Lynn2
1) Die Relation muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.

reflexiv: (1,1),(6,6) - Muss ich hier noch alle anderen aufführen (z.B. (4,4)) oder reicht es, wenn ich nur die beiden aufführe, weil dadurch die Transivität bereits gezeigt wird. (Es heißt ja auch in der Aufgabe, dass ich es mit so wenig wie möglich Elementen ergänzen soll)

symmetrisch: (1,2), (2,1) - Auch hier die Frage, reicht dieses Beispiel?!

transitiv: (1,2) und (2,4) -> (1,4)
Du musst natürlich Alle Elemente aufführen, also bspw. (1,1),(2,2),...,(6,6) - diese müssen ja alle in Relation zueinander stehen.
Genauso muss, wenn (a,b) enthalten ist, auch (b,a) hinzugefügt werden, sonst wären diese ja nicht in Relation zueinander.
Zitat:
Original von Lynn2
2) Vielen Dank für die kurze Aussage. - Was bedeutet äquivalent in diesem Falle?
äquivalent bedeutet natürlich, dass diese bezüglich der gegebenen Äquivalenzrelation in Relation zueinander stehen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
1) Alles klar, danke. Augenzwinkern

2) Kannst du mir eventuell mit einem Beispiel auf die Sprünge helfen? Ich verstehe zwar deine Aussagen, weiß aber nicht, wie ich diese auf die Relation anwenden soll. verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Die zu einem konkreten Element gehörende Äquivalenzklasse ist eben die Menge aller Elemente, die zu dem gegebenen Objekt äquivalent sind (ja, bezüglich der Äquivalenzrelation). Schau doch bitte mal z.B. hier nach.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Also ist dann z.Bsp. (1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(1,4) eine Äquivalenzklasse?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Zitat:
Original von Lynn2
Also ist dann z.Bsp. (1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(1,4) eine Äquivalenzklasse?
Nein, eben nicht. Welche Elemente stehen denn in Relation zu 1? Die Menge dieser Elemente bildet dann eine Äquivalenzklasse. In diesem Falle stehen 1, 2 und 4 in Relation zu 1, also ist {1,2,4} die Äquivalenzklasse von 1.
Bittte zeig mal etwas mehr Eigeninitiative und schlag diese Begriffe nach, bin für heute hier raus.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Beim Nacharbeiten der Aufgabe ist mir aufgefallen, dass in der Aufgabe steht, dass ich die Relation um möglichst wenig Elemente ergänzen soll.
Reicht es also vielleicht doch aus, wenn ich nur einige Beispiele für bspw. der Reflexivität in der Relation habe. (also (1,1) und (6,6)?)
Genau die gleiche Frage stelle ich mir auch bei der Transivität und der Symmetrie.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Zitat:
Original von Lynn2
Beim Nacharbeiten der Aufgabe ist mir aufgefallen, dass in der Aufgabe steht, dass ich die Relation um möglichst wenig Elemente ergänzen soll.
Reicht es also vielleicht doch aus, wenn ich nur einige Beispiele für bspw. der Reflexivität in der Relation habe. (also (1,1) und (6,6)?)
Genau die gleiche Frage stelle ich mir auch bei der Transivität und der Symmetrie.
Nein, das reicht immer noch nicht, denn dann wäre es nicht reflexiv bzw. transitiv bzw. symmetrisch.

Das "möglichst wenig" steht da, weil du sonst einfach zB. ALLE Elemente in Relation zueinander setzen könntest, das wäre auch eine Äquivalenzrelation. Würde man das streichen, dann wäre das eine gültige Lösung der Aufgabe.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
(1,1),(1,2),(1,4),(5,6),(6,6),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,1),(4,1),(6,5)

Nun gilt die Reflexivität und die Symmetrie, richtig?

Und damit die Transivität gilt, muss ich noch (2,4) hinzufügen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Ja das stimmt soweit - mit (2,4) musst du dann wegen der Symmetrie auch (4,2) hinzufügen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
[1]: {1,2,4}
[2]: {1,2,4}
[3]: {3}
[4]: {1,2,4}
[5]: {5,6}
[6]: {5,6}

Und das sind dann dementsprechend die Äquivalenzklassen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Ja, richtig. Es gibt also nur drei verschiedene davon.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
[1],[2],[4]: {1,2,4}
[3]: {3}
[5],[6]: {5,6}

Kann man das dann so schreiben?
Wenn ja, ist die Schreibweise überhaupt richtig?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Ich würde einfach nur die verschiedenen Äquivalenzklassrn auflisten, das reicht völlig.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
[1]: {1,2,4}
[2]: {1,2,4}
[3]: {3}
[4]: {1,2,4}
[5]: {5,6}
[6]: {5,6}

Also einfach nur so?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Es reicht schon, nur die verschiedenen Klasse anzugeben, also: {1,2,4},{3},{5,6}.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation
Vielen Dank. smile smile smile
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