Induktion bei Produkten

28.10.2013, 22:20	Erdbeer	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion bei Produkten Meine Frage: Hallo. Ich mache gerade die Vollständige Induktion für alle natürlichen Zahlen n für die Gleichung: $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n~ (1+ \frac{1}{k})^{k} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n} }{n!} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe schon soweit gerechnet, dass ich zeigen muss dass das: $\begin{eqnarray} \frac{(n+2)^{n+1} }{(n+1)!} \end{eqnarray}$ gleich das sein muss: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n}(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} }{(n)!} \end{eqnarray}$ Leider komme ich hier nicht weiter und ich hoffe, dass mir jemand paar nützliche Rechenregeln zeigen kann, damit ich diese Aufgabe lösen kann MfG, Erdbeer
28.10.2013, 22:33	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bring den Term in der rechten Klammer auf einen Nenner und nutze dann Potenzgesetze, um den Gesamtterm zu kürzen.
28.10.2013, 22:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das nicht mit Induktion machen (oder ist das ausdrücklich gefordert?). Wegen $\begin{eqnarray} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k = \frac{(k+1)^k}{k^k} \end{eqnarray}$ kann man über Kreuz kürzen (eine Art "Teil-Teleskop-Produkt"). Dadurch fallen die Zähler außer dem letzten weg und von jedem Nenner bleibt noch die Basis übrig: $\begin{eqnarray} \frac{2^1}{1^1} \cdot \frac{3^2}{2^2} \cdot \frac{4^3}{3^3} \cdots \frac{n^{n-1}}{(n-1)^{n-1}} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdots \frac{1}{n-1} \cdot \frac{(n+1)^n}{n} \end{eqnarray}$
28.10.2013, 23:07	Erdbeer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dadurch, dass ich noch nie dieses Teleskop gemacht habe, würde ich das erstmal zur Seite schieben und mich am Wochenende oder so damit mal beschäftigen, wenn man damit auch das beweisen kann. Mehrere Arten sowas auszurechnen schadet ja nie So insgesammt hätte ich jetzt: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)^{n}(n+2)^{n+1}(n+1)^{-n-1} }{n!} \end{eqnarray}$ Weiter weiß ich nun wieder nicht
28.10.2013, 23:20	Erdbeer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich habs jetzt. Vielen Dank
30.10.2013, 22:28	Suppenkasper11	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss das auch machen... wie bist du da weiter gekommen? nach deinem ansatz?
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30.10.2013, 23:38	Erdbeer	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutz die Potgenzregel. Oben haben wir ja 2 mal fast das selbe stehen (n+1)^n und (n+1)^(-n-1). Daraus bleibt dann ja nur (n+1)^-1 übrig. Das kannste dann unter dem Bruch Strich schreiben.

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