Beweis Mengenlehre

28.10.2013, 23:36

IvyStyle

Beweis Mengenlehre

Meine Frage:
Hey Leute,

ich soll folgendes über einen indirekten Beweis beweisen:
M ist eine Menge
Zeige: $\begin{eqnarray*} (\exists x) x\notin M \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da es keine Definition der Menge gibt, bedeutet das ja auch, dass man auch nicht weiß welche Elemente in dieser Menge vorhanden sind. Aber wie kann ich das mathematisch ausdrücken?

29.10.2013, 00:30

jimmyt

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Beim indirekten Beweis führst du die Negation der Aussage durch logische Schlussfolgerungen zu einem Widerspruch.

Also $\begin{eqnarray*} \neg (\exists x: x \notin M) \; \Longrightarrow \; \dots \; \Longrightarrow \; \text{Widerspruch} \end{eqnarray*}$

29.10.2013, 07:13

IvyStyle

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Die Negation wäre ja dann: $\begin{eqnarray*} (\forall x)x\in M \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich jetzt ein x finden, was nicht in der Menge M ist, wenn M gar nicht definiert ist :-/

29.10.2013, 10:43

jimmyt

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Zitat:

Original von IvyStyle
Die Negation wäre ja dann: $\begin{eqnarray*} (\forall x)x\in M \end{eqnarray*}$
...

Naja, was ist denn bspw., wenn $\begin{eqnarray*} M=\varnothing \end{eqnarray*}$ ? Gilt das dann immer noch?
Wie ist denn die Menge $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ definiert?

Zitat:

Original von IvyStyle
...
M ist eine Menge
...

M ist irgendeine beliebige Menge. Augenzwinkern

29.10.2013, 12:00

IvyStyle

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Achso, ein Gegenbesipiel reicht aus

29.10.2013, 12:03

jimmyt

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Zitat:

Original von IvyStyle
Achso, ein Gegenbesipiel reicht aus

Ganz allgemein:
Um eine Aussage zu widerlegen, die für alle gelten soll, benötigst du nur ein einziges Gegenbeispiel. Augenzwinkern

29.10.2013, 14:24

Guppi12

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Hallo,

ich muss hier widersprechen.

Die zu zeigende Aussage ist

$\begin{eqnarray*} \forall_M\exists_x:~x\notin M \end{eqnarray*}$ .

Die Negation davon ist $\begin{eqnarray*} \exists_M\forall_x:~x\in M \end{eqnarray*}$ . Dies ist zu einem Widerspruch zu führen.
Ein einziges Gegenbeispiel, also eine einzige Menge, für die $\begin{eqnarray*} \forall_x:~x\in M \end{eqnarray*}$ falsch ist, beweist hier garnichts.

Es ist zu widerlegen, dass es eine Menge gibt, die alle Elemente enthält, die es irgendwo geben kann.

Oder möchte jemand anzweifeln, dass

Zitat:

M ist eine Menge

in den Beweis vorangestellt als $\begin{eqnarray*} \forall_M \end{eqnarray*}$ gelesen wird?

29.10.2013, 15:00

jimmyt

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Ok, ich habe etwas übersehen. Guppi12 hat natürlich recht.

Das hier

Zitat:

Original von Guppi12
...
Die Negation davon ist $\begin{eqnarray*} \exists_M\forall_x:~x\in M \end{eqnarray*}$ .
...

ist die korrekte Negation der Aussage.

Wenn ich einen Fehler mache, dann stehe ich auch dazu.
Also ganz so einfach wie ich angenommen habe geht es nicht.

Ich überlasse es Guppi12, ob er weiter machen möchte oder nicht.

29.10.2013, 17:49

Guppi12

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Es geht also darum, zu widerlegen, dass es eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt, die alles enthält.
Für eine solche Menge würde dann $\begin{eqnarray*} N \subset M \end{eqnarray*}$ für jede beliebige Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gelten.

Überlege mal, wie das mit der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ in Einklang zu bringen ist.

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