Primzahlenmenge intensional und extensional angeben - ist es so ok?

28.10.2013, 23:55

Asg

Primzahlenmenge intensional und extensional angeben - ist es so ok?

Hallo zusammen,

bei einer Aufgabe muss ich Mengen intensional und/oder extensional angeben s. Bild.

Kommt es so hin?

Danke für jeden Hinweis vorab.

Viele Grüße
Asg

29.10.2013, 01:21

khnjkguhjgh

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Hallo,

du verwendest bei 1a) eine Eigenschaft die explizit verboten ist,
1c) ist ziemlich sinnfrei: Reelle Zahlen haben da eigentlich nichts zu suchen, a ist vollkommen unspezifiziert und b bräuchte zumindest nen Quantor. Und selbst dann seh ich nicht was deine Idee hier sein soll.

29.10.2013, 02:07

Asg

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Hallo,

danke für die prompte Hilfe!

Zitat:

Original von khnjkguhjgh
du verwendest bei 1a) eine Eigenschaft die explizit verboten ist,

Huch, das hatte ich übersehen. Jetzt müsste es stimmen (x/2)=0, oder?

Zitat:

Original von khnjkguhjgh
1c) ist ziemlich sinnfrei: Reelle Zahlen haben da eigentlich nichts zu suchen, a ist vollkommen unspezifiziert und b bräuchte zumindest nen Quantor. Und selbst dann seh ich nicht was deine Idee hier sein soll.

Ups, Entschuldigung, ich meine natürliche Zahlen. Wenn ich es mir nochmal anschaue, dann sieht es in der Tat sehr schräg aus.

Ich weiß nicht, ob es jetzt etwas besser wurde, aber ich habe nun eine andere Idee und zwar folgende:
Die Eigenschaft der Primzahlen ist, dass sie ja nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar sind.

Mit anderen Worten: wenn eine Zahl durch eine beliebige Zahl außer sich selbst oder 1 geteilt wird und das ergebnis ist eine rationale Zahl, dann ist diese Zahl eine Primzahl.

Viele Grüße
Asg

29.10.2013, 02:50

Lithiesque

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}=0 \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , das haut also nicht so ganz hin. Wie ist denn die Teilbarkeit einer Zahl durch 2 definiert?

Was die Primzahlenmenge angeht... erst mal sollte es vermutlich $\begin{eqnarray*} a\notin\{1,x\} \end{eqnarray*}$ heißen (geschweifte, nicht runde Klammern); desweiteren ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ immer noch ziemlich unspezifiziert, könnte beispielsweise irrational sein (du hättest aber wohl gerne, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ natürlich ist, dann schreib das auch hin: $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{N}\setminus\{1,x\} \end{eqnarray*}$ ).
Die Bedingung $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist keine wirkliche Einschränkung; sie gilt für alle $\begin{eqnarray*} x,a\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Weiter liegt, selbst wenn man $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beschränkt, beispielsweise 4 (möglicherweise) in der von dir beschriebenen Menge, denn z.B. mit $\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ - du hast nicht spezifiziert, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Aussage gelten soll bzw. ob nur für eines oder für alle.
Deine Idee ist zwar gut, aber die Ausführung lässt zu wünschen übrig - das sollte noch etwas präziser werden.

edit: Wie habt ihr übrigens $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ definiert? Gilt $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ? (Deine Bearbeitung von 1a legt das irgendwie nahe)
edit²: Die Bedingung $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ bei 1c kann man auch direkt vorne mit reinpacken: $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$

29.10.2013, 09:28

HAL 9000

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@Asg

Mach es dir doch nicht so schwer bei a): Du musst nicht die Mengendefinition zwangsläufig mit $\begin{eqnarray*} \{ x\in \mathbb{N} \bigm| \ldots \} \end{eqnarray*}$ starten. Nehmen wir etwa die geraden natürlichen Zahlen (ohne Zusatzbedingung), die kann man z.B. durch

$\begin{eqnarray*} \left\{ 2x \bigm| x\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

beschreiben, ohne diese Definition symbolmäßig zu "überladen".

29.10.2013, 16:42

Asg

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Hallo zusammen,

danke für die Hilfe.

Zitat:

Original von Lithiesque
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}=0 \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , das haut also nicht so ganz hin. Wie ist denn die Teilbarkeit einer Zahl durch 2 definiert?

Stimmt, da habe ich etwas durcheinander gebracht. Es müsste $\begin{eqnarray*} M := \{x\in \mathbb{N} | x < 7, \frac{x}{2}\in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ heißen.

Übrigens, muss eine Menge immer einen Namen haben oder könnte ich M := weg lassen?

Zitat:

Original von HAL 9000
Mach es dir doch nicht so schwer bei a): Du musst nicht die Mengendefinition zwangsläufig mit $\begin{eqnarray*} \{ x\in \mathbb{N} \bigm| \ldots \} \end{eqnarray*}$ starten. Nehmen wir etwa die geraden natürlichen Zahlen (ohne Zusatzbedingung), die kann man z.B. durch

$\begin{eqnarray*} \left\{ 2x \bigm| x\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

beschreiben, ohne diese Definition symbolmäßig zu "überladen".

In der Tat habe ich zu kompliziert gedacht – Deine Lösung ist wirklich elegant Freude

Dann müsste die Definition für $\begin{eqnarray*} < 7 \end{eqnarray*}$ wie folgt sein:
$\begin{eqnarray*} \left\{ 2x \bigm| x\in\mathbb{N}, x < 4 \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lithiesque
Was die Primzahlenmenge angeht... erst mal sollte es vermutlich $\begin{eqnarray*} a\notin\{1,x\} \end{eqnarray*}$ heißen (geschweifte, nicht runde Klammern); desweiteren ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ immer noch ziemlich unspezifiziert, könnte beispielsweise irrational sein (du hättest aber wohl gerne, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ natürlich ist, dann schreib das auch hin: $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{N}\setminus\{1,x\} \end{eqnarray*}$ ).

Ja, genau so wollte ich es haben, danke!

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist keine wirkliche Einschränkung; sie gilt für alle $\begin{eqnarray*} x,a\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Weiter liegt, selbst wenn man $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ beschränkt, beispielsweise 4 (möglicherweise) in der von dir beschriebenen Menge, denn z.B. mit $\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ - du hast nicht spezifiziert, für welche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Aussage gelten soll bzw. ob nur für eines oder für alle.
Deine Idee ist zwar gut, aber die Ausführung lässt zu wünschen übrig - das sollte noch etwas präziser werden.

Was ich sagen will ist, dass für jedes a außer 1 und x muss das Ergebnis ein Bruch sein. Bei $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ stimmt es, aber $\begin{eqnarray*} \frac{4}{2} \end{eqnarray*}$
nicht mehr.

Kann ich es evtl. so beschreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall a \setminus\{{1, x}\} \frac{x}{a} \in\mathbb{Q} \setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ich überlege es den ganzen Tag, aber komme leider nicht weiter Hammer

Zitat:

Original von Lithiesque
edit: Wie habt ihr übrigens $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ definiert? Gilt $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ? (Deine Bearbeitung von 1a legt das irgendwie nahe)
edit²: Die Bedingung $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ bei 1c kann man auch direkt vorne mit reinpacken: $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$

Ja, bei uns ist die Null in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann müsste ich so schreiben

$\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} \end{eqnarray*}$

wenn die Bedingung am Anfang stehen soll, oder? Oder kann ich hier auch größer sagen?

Vielen vielen Dank für die Unterstützung.

Liebe Grüße
Asg

29.10.2013, 18:47

Lithiesque

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Zitat:

Original von Asg
Übrigens, muss eine Menge immer einen Namen haben oder könnte ich M := weg lassen?

Kannst du weglassen.

Zitat:

Kann ich es evtl. so beschreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall a \setminus\{{1, x}\} \frac{x}{a} \in\mathbb{Q} \setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ja, schon besser, aber bei dem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ fehlt jetzt irgendwie noch was...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} \end{eqnarray*}$

wenn die Bedingung am Anfang stehen soll, oder? Oder kann ich hier auch größer sagen?

Ja... man könnte auch $\begin{eqnarray*} 1<x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber ich finde $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} \end{eqnarray*}$ klarer.

29.10.2013, 19:07

Asg

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Hallo,

Zitat:

Original von Lithiesque

Zitat:

Kann ich es evtl. so beschreiben:

$\begin{eqnarray*} \forall a \setminus\{{1, x}\} \frac{x}{a} \in\mathbb{Q} \setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ja, schon besser, aber bei dem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ fehlt jetzt irgendwie noch was...

Ich glaube, ich habe schon wieder vergessen zu schreiben, aus welcher Menge a stammen soll.

Stimmt das jetzt?

$\begin{eqnarray*} \forall a \in\mathbb{N} \setminus\{{1, x}\} \frac{x}{a} \in\mathbb{Q} \setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lithiesque
Ja... man könnte auch $\begin{eqnarray*} 1<x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber ich finde $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} \end{eqnarray*}$ klarer.

Du hast recht, die Angabe mit Differenz ist klarer, aber wenn die Menge viele Elemente hätte, wäre vielleicht < die bessere Wahl für mich ...

Entschuldige bitte die Fehler und die unpräzise Angaben, ich muss mich noch an die Schreibweise und die ganze Logik etwas gewöhnen, dann hoffentlich geht's besser ....

Danke nochmal Freude

Viele Grüße
Asg

30.10.2013, 01:38

Lithiesque

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Ja, das stimmt jetzt... fast: Wenn bei euch $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt, darf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ diesen Wert nicht annehmen, da dann $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.
Zur besseren Abgrenzung könnte man außerdem noch einen Doppelpunkt schreiben, dann liest sich das so:

$\begin{eqnarray*} \forall a\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1,x\}:\frac{x}{a}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

30.10.2013, 12:22

Asg

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Hallo,

Zitat:

Original von Lithiesque
Ja, das stimmt jetzt... fast: Wenn bei euch $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt, darf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ diesen Wert nicht annehmen, da dann $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

Ups, stimmt Division/0 ist ja nicht erlaubt - das habe ich wohl übersehen - danke für den Hinweis

Zitat:

Original von Lithiesque
Zur besseren Abgrenzung könnte man außerdem noch einen Doppelpunkt schreiben, dann liest sich das so:

$\begin{eqnarray*} \forall a\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1,x\}:\frac{x}{a}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Heißt es, dass in einer Menge der Doppelpunkt bzw. das Pip Zeichen mehrfach geschrieben werden kann?
Also etwa so:

$\begin{eqnarray*} P := \{x\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} : \forall a\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1,x\}:\frac{x}{a}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$

Muss $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ auch explizit angegeben werden wie folgt?

$\begin{eqnarray*} P := \{\forall x\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} : \forall a\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1,x\}:\frac{x}{a}\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Asg

31.10.2013, 00:03

Lithiesque

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Ja, ich denke, das kann man machen.

Nein, vor das x gehört kein Allquantor.

31.10.2013, 00:12

Asg

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Hallo,

Zitat:

Original von Lithiesque
Ja, ich denke, das kann man machen.

Nein, vor das x gehört kein Allquantor.

danke für die nochmalige Antwort.

Mich würde es interessieren, ob es für die Menge von Primzahlen auch eine andere kürzere/elegantere Schreibweise/Definition gibt.

Viele Grüße
Asg

02.11.2013, 19:51

Lithiesque

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Naja, üblicherweise definiert man Primzahlen als diejenigen natürlichen Zahlen größer 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. In meiner Zahlentheorievorlesung wurden sie jedenfalls genau so definiert - ohne die Mengenschreibweise, sondern einfach in Worten. Was du eleganter findest, bleibt letztlich dir überlassen...

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