Integral bestimmen

29.10.2013, 16:30	Keen89	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral bestimmen Hier meine Aufgabe: Gegeben sei die Funktion f: R^2 -> R definiert durch: _______ y^(-2), falls 0 < x < y < 1 f(x,y) := -x^(-2), falls 0 < y < x < 1 _______ sonst Berechnen Sie die beiden iterierten Riemann-Integrale $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dx dy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dy dx \end{eqnarray}$ . Was stellen Sie fest? Nun wollte ich fragen, wie man bei einer solchen Aufgabe anfängt. Sonst hatte ich immer Funktionen die ich irgendwie integrieren konnte (z.B. durch partieller Integration etc), aber hier ist es durch die Definition von f(x,y) anderes.
29.10.2013, 18:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ist es denn mit dem "sonst"-Fall? Dort fehlt die Definition. Für die Integration spielt das jedoch keine Rolle. Beginnen wir mit $\begin{eqnarray} \int_0^1 \color{blue} \int_0^1 f(x,y) ~ \dd x \color{black} ~ \dd y \end{eqnarray}$ Dazu muß man zunächst das innere (blaue) Integral berechnen. Für dieses ist $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ein Parameter. Denken wir uns also ein $\begin{eqnarray} y \in (0,1) \end{eqnarray}$ fest gewählt. Von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis zu diesem $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 0<x<y \end{eqnarray}$ , also in der Definition von $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ der erste Term zuständig, und von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} y<x<1 \end{eqnarray}$ , also der zweite Term zuständig: $\begin{eqnarray} \color{blue} \int_0^1 f(x,y) ~ \dd x = \int_0^y f(x,y) ~ \dd x + \int_y^1 f(x,y) ~ \dd x = \int_0^y \frac{1}{y^2} ~ \dd x + \int_y^1 - \frac{1}{x^2} ~ \dd x = \frac{1}{y} + \left( 1 - \frac{1}{y} \right) = 1 \end{eqnarray}$ Jetzt rechne oben weiter, der blaue Teil ist ja inzwischen ermittelt. Und danach das Ganze umgekehrt.
29.10.2013, 22:16	Keen89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral bestimmen Vielen Dank! Auf die Idee kam ich nicht. Habe dann für das erste Integral 1 raus und für das zweite Integral -1. Der Sonstfall ist außerdem 0.

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