x*e^-x Lebesgue integrierbar?

29.10.2013, 17:22

f30

x*e^-x Lebesgue integrierbar?

Guten Tag!
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Aufgabe

"Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} f(x)=xe^{-x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar ist und bestimmen Sie ggf. das Integral."

verfügbares Wissen::
- Definiton "Lebesgue integrierbar"
- Satz von der majorisierten Konvergenz (LDC)
- Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi)

Ansätze:
Ich würde anhand dieses Beispiels gerne einmal das allgemeine Vorgehen beim Prüfen auf Lebesgue-Integrierbarkeit durchgehen.

Dieses Thema hatte auch der Thread Lebesgue-integrierbarkeit in welchem Che Netzer eben dieses erläutert. Nach gegebenem Thread würde es reichen, wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ messbar auf $\begin{eqnarray*} [o,\infty) \end{eqnarray*}$ ist und eine integrierbare Majorante zu $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ finde.

Die Messbarkeit von f:
$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist messbar auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ . Somit auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Kompositionen messbarer Funktionen, insbesondere auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Die integrierbare Majorante:
Wir sehen: $\begin{eqnarray*} \forall x \in [0,\infty): f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ positiv.

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! |f(x)| \, dx = \int_0^\infty \! x \cdot e^{-x} \, dx= \Gamma(2)\leq \Gamma(2)=1 < \infty \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ die Gamma-Funktion ist. Also habe ich eine integrierbare Majorante gefunden.

Nach obigem Thread würde jetzt die Lebesgue-Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgen, wenn ich alles richtig verstanden habe.

Der Wert des Integrals wäre dann mit $\begin{eqnarray*} \Gamma(2)=1 \end{eqnarray*}$ gegeben und die Aufgabe erledigt.

Frage:
1. Sind meine Gedanken soweit richtig?
2. Wieso reicht es Messbarkeit zu zeigen und eine integrierbare Majorante zu finden? In meinem Skript steht unter dem Satz der majorisierten Konvergenz der Satz "Für messbare Funktionen ergibt eine integrierbare Majorante die Integrierbarkeit.". Dies verwirrt mich. Muss die Majorante Lebesgue integrierbar sein? Dies zeige ich doch aber garnicht.

Mit freundlichen Grüßen,
Marius

29.10.2013, 19:30

sibelius84

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Zur Messbarkeit würde ich sagen: f ist als Produkt/Verkettung stetiger Funktionen stetig und daher auch messbar. (Dieser Satz ist absolut basal und müsste m.E. behandelt und bewiesen worden sein.)

Ich bezweifle, ob in diesem Zusammenhang die Gamma-Funktion vorausgesetzt werden darf. Ich meine aber, da der Integrand zum Einen positiv, zum anderen stetig und mithin [mit endlichen Grenzen] Riemann-integrierbar ist, könntest du einfach das [uneigentliche] Riemann-Integral ausrechnen und wenn ein endlicher Wert rauskommt, folgt, dass f Lebesgue-integrierbar ist. Aber da bin ich mir nicht 100pro sicher, vielleicht ist das etwas zu hemdsärmelig.

Du kannst auch Beppo-Levi / monotone Konvergenz verwenden: Setze

f_n(x) := xe^-x für 0 <= x <= n, 0 sonst und schau mal, was passiert.

LG
sibelius84

29.10.2013, 19:59

f30

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Hallo sibelius84 und danke für Deine Antwort.

Die Gamma-Funktion darf ich verwenden, da wir diese in Analysis II ausführlich behandelt haben.
Dort haben wir auch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \Gamma(2)=\int_0^\infty \! x \cdot e^{-x} \, dx =1 \end{eqnarray*}$ gilt. Deswegen erschien mir die Argumentation mit der Gammafunktion als "gewollte Abkürzung" für Leute die sich zurück erinnern.

Zitat:

Ich meine aber, da der Integrand zum Einen positiv, zum anderen stetig und mithin [mit endlichen Grenzen] Riemann-integrierbar ist, könntest du einfach das [uneigentliche] Riemann-Integral ausrechnen und wenn ein endlicher Wert rauskommt, folgt, dass f Lebesgue-integrierbar ist. Aber da bin ich mir nicht 100pro sicher, vielleicht ist das etwas zu hemdsärmelig.

Ich habe den Satz, dass für stetige Funktionen auf beschränkten Intervallen das Lebesgue-Integral gleich dem Regel-Integral ist. Dies erscheint mir sehr analog zu deinem Vorschlag.

Ich würde also wie folgt argumentieren:
Da f offensichtlich Regelfunktion als Komposition von Regelfunktionen, gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_o^R \! xe^{-x} \, dx = [-e^{-x} (x+1)]_0^{R}=(-e^{-R}(R+1)-(-e^0 (0+1)) = -e^{-R}(R+1)+1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,R] \end{eqnarray*}$ .
Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty} -e^{-R}(R+1)+1 = \lim_{R \to \infty} \frac{-(R+1)}{e^x}+1 = 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ schneller gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ , folgt nun, dass f Lebesgue integrierbar ist.

Zitat:

Du kannst auch Beppo-Levi / monotone Konvergenz verwenden: Setze f_n(x) := xe^-x für 0 <= x <= n, 0 sonst und schau mal, was passiert.

Hier habe ich das Verständnisproblem, warum diese Argumentation zulässig ist. Beppo-Levi setzt ja voraus, dass $\begin{eqnarray*} f_n \in L(I) \end{eqnarray*}$ liegt, sprich $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar sein muss. Dies wollen wir doch aber gerade zeigen?

EDIT
Ich glaube was mich verwirrt ist folgendes: In meinem Skript wird sowohl für Beppo-Levi als auch für den Satz der majorisierten Konvergenz vorausgesetzt, dass die gefundenen Folgen Lebesgue integrierbar sind. Auf Wikipedia hingegen wird nur die Messbarkeit vorausgesetzt.

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