Vollständige Induktion

29.10.2013, 19:43

Matejka

Vollständige Induktion

Guten Tag, ich soll zeigen für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Wir haben vorher den Binomischen Lehrsatz bewiesen und die Bernoulli Ungleichung.

Für den Induktionsanfang hab ich n=1 eingesetzt und gezeigt das $\begin{eqnarray*} 2\leq 2 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n} \leq \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Indunktionsbehauptung: $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} \leq \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!}=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+\frac{1}{(n+1)!}\geq (1+\frac{1}{n})^{n} +\frac{1}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun weiter formen will, komme ich nicht auf meine Behauptung, habt ihr evtl einen Tipp?

29.10.2013, 19:51

HAL 9000

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Vollständige Induktion bringt hier keinen erkennbaren Vorteil - die direkte Anwendung des binomischen Satzes auf die linke Gleichungsseite und die anschließende Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

hingegen schon.

29.10.2013, 20:25

Matejka

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Bei dieser Abschätzung stellt sich mir die Frage, ob ich das einfach so benutzen darf?

Ich mein, wenn ich es durchprobiere, "glaube" ich diese Abschätzung, muss ich dies dann nicht auch noch zeigen?

29.10.2013, 20:32

Matejka

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Stimmt meine Anwendung auf die linke Seite?

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{n}=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{k}(\frac{1}{n})^{n-k}=\sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}(\frac{1}{n})^{n-k} \end{eqnarray*}$

29.10.2013, 20:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matejka
muss ich dies dann nicht auch noch zeigen?

Ja natürlich, das solltest du.

29.10.2013, 21:31

Matejka

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Irgendwie muss meine Anwendung falsch sein? ich kann mit dem "hoch" n-k nichts anfangen..?

29.10.2013, 21:50

Matejka

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Binomischer Lehrsatz:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{n} =\sum\limits_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^{k} y^{n-k} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \cup {0} \end{eqnarray*}$

Ist es für das Anwenden dieses Lehrsatzes sinnvoll, x und y zu vertauschen? denn dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n}+1 )^{n} =\sum\limits_{k=0}^n\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das Stimmt.... Und sry für 2x doppel posting..

29.10.2013, 23:22

Matejka

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vollständige Induktion bringt hier keinen erkennbaren Vorteil - die direkte Anwendung des binomischen Satzes auf die linke Gleichungsseite und die anschließende Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

hingegen schon.

Sorry wegen dreifach Post, mir lässt diese Aufgabe keine ruhe und hab mal weiter gemacht, ich werd nun schlafen gehen, vielleicht fallen mir dann noch Ideen ein smile

Ich hoffe, dass was ich bisher erarbeitet habe stimmt so.. und mir kann morgen jemand weiterhelfen.

$\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^{k} } \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^{k} } \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^{k} }=n(n-1)(n-2)*...*(n-k+1)\frac{1}{n^{k} } \leq 1 \end{eqnarray*}$

Kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{k} } \end{eqnarray*}$ schnell gegen Null geht und somit die Abschätzung gezeigt ist?

29.10.2013, 23:26

Gast11022013

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Bring es lieber auf die Form:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}\leq n^k \end{eqnarray*}$

und kürze auf der linken Seite. Was erkennst du?

Du hast hier die Menge der natürlichen Zahlen mit der Null. Die Null sollte jedoch aus dem Definitionsbereich rausgenommen werden, wir hätten sie sonst im Nenner.

30.10.2013, 08:59

Grautvornix

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Einfach mal die Produktdarstellung bemühen

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}\frac 1{n^k}=\prod_{j=1}^k\frac{n-(k-j)}n \end{eqnarray*}$

dann wird die benötigte Abschätzung sofort offensichtlich.

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