Abbildung f: M --> N

29.10.2013, 20:36

Sportstudent

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Abbildung f: M --> N

Meine Frage:
Es sei f: M-->N eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) $\begin{eqnarray*} \forall A,B \subseteq N: f^{-1} (A\cap B) = f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} \forall A,B \subseteq M: f(A\cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

(c) Geben Sie ein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} f(A\cap B)\neq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll. Ein schlüssiger Beweisweg für die Aufgaben wäre für mich am hilfreichsten.

LG
Sportstudent

29.10.2013, 20:47

Leopold

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RE: Abbildung f: M --> N

Zitat:

Original von Sportstudent
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll.

Ich schon. Das A und O ist, daß du dir erst einmal klarmachst, was die Zeichen $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ bedeuten, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Menge ist und nicht etwa eines der Elemente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , auf denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eigentlich wirkt. Mit Sicherheit findest du die Fakten in deinen Unterlagen.

29.10.2013, 21:14

Sportstudent

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RE: Abbildung f: M --> N
Unser Dozi ist leider ziemlich schlecht was erklären anbelangt :/ Leider bekommen wir keine Tipps und Übungen, um auf Anhieb einen Ansatz für eine solche Aufgabe zu finden.
Die Unterlagen aus den Vorlesungen helfen in keinster Weise weiter :/ sonst hätte ich die letzten 4 Stunden mindestens die Angabe aufs Blatt gebracht...

Wenn ich das richtig verstanden habe: f(A) ist eine Abbildung von A --> f^(-1)(A) die "Rückabbildung" oder wie mans nennen mag. Ich denke soweit bin ich schon mal...

29.10.2013, 21:21

sibelius84

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Nein.

f(A) ist die Bildmenge von A unter f. Setze z.B. f(x) := x², dann ist

f({-5,7,8}) = {25,49,64}
f([4,9]) = [16,81].

f(A) ist also die Menge aller derjenigen Funktionswerte, die f annehmen kann, wenn man Elemente aus A in f einsetzt.

f^-1(B) ist die Urbildmenge von B unter f. Für obiges g z.B. ist

f^-1({1,100,10000}) = {1, 10, 100, -1, -10, -100}, und
f^-1([4,9]) = [2,3].

f^-1(B) ist also die Menge aller derjenigen Elemente des Definitionsbereiches, deren Funktionswert unter f in der Menge B liegt.

In deinen Unterlagen muss es irgendwo eine Definition dieser beiden Symbole geben. Die Definition ist das, womit du arbeiten musst.

29.10.2013, 21:42

Sportstudent

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Ok klar soweit schon mal! Das hilft ja schon etwas Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie gesagt: Meine Unterlagen liefern mir keine Definition(en) für Ur-/Bildmenge, geschweigedenn Beispiele oder ähnliches.

Meine einzige Idee bei (b) :

Sei x Element AnB
dann x Element A ^ x Element B

-->

Sei x Element f(AnB)
dann x Element f(A) ^ x Element f(B)
dann x Element f(A) n f(B)

q.e.d.

oder
(AnB) := {x|x Element AnB} = {x|x Element A ^ x Element B}

--> f(AnB) := {x|x Element AnB} = {x|x Element A ^ x Element B} = f(A) n f(B)

q.e.d.

29.10.2013, 22:01

Leopold

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Zitat:

Original von sibelius84
f^-1([4,9]) = [2,3]

Auch hier wie zuvor die negativen Zahlen nicht vergessen.

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30.10.2013, 10:03

Sportstudent

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Also wie siehts aus? Einer da der das vielleicht kommentieren möchte?

30.10.2013, 12:22

Leopold

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Zitat:

Original von Sportstudent
Sei x Element AnB
dann x Element A ^ x Element B

-->

Sei x Element f(AnB)
dann x Element f(A) ^ x Element f(B)
dann x Element f(A) n f(B)

q.e.d.

Soll das ein Beweis sein? Was soll der Pfeil --> angeben? Eine Folgerung? Und unterwegs änderst du die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Zuerst ein Element von $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ , dann auf einmal ein Element von $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ ?
In einem Beweis bleibt eine einmal getroffene Festlegung für immer gültig und darf nicht im nachhinein geändert werden. Das ist sinnlos.
Selbst wenn ich den Pfeil --> nicht als logischen Pfeil, sondern als umgangssprachlichen "Hinweispfeil" interpretiere (was übrigens in einem mathematischen Text nichts verloren hat), ist der Absatz danach für sich genommen kein Beweis. Es ist zwar dann nicht falsch, was da steht. Aber du schreibst letztlich nur Voraussetzung und Behauptung ausführlich hin. Aber wo ist der Beweis, also der Weg (!) von der Voraussetzung zur Behauptung?

Du willst also $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ beweisen. Links und rechts stehen Mengen. Wenn die linke eine Teilmenge der rechten werden soll, dann mußt du ein beliebiges Element der linken Menge nehmen und zeigen, daß es auch der rechten Menge angehört.

Um den Beweis übersichtlicher zu gestalten, nenne ich die Urbilder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und die Bilder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , solange diese Bezeichner noch frei sind.

Ein Element der Menge $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ist solch ein Bild, also ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , aber nicht ganz beliebig, weil es ja von einem Element aus $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ herrühren soll. Also

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \ \ \text{mit einem} \ x \in A \cap B \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zu zeigen, daß dieses $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auch in der Menge $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ liegt. Da eine Durchschnittsbildung vorliegt, mußt du nachweisen, daß zugleich $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ wie auch $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist aber nahezu offensichtlich. Woran liegt es letztlich? Nenne den Grund.

Zitat:

Original von Sportstudent
Unser Dozi ist leider ziemlich schlecht was erklären anbelangt :/ Leider bekommen wir keine Tipps und Übungen, um auf Anhieb einen Ansatz für eine solche Aufgabe zu finden.
Die Unterlagen aus den Vorlesungen helfen in keinster Weise weiter :/ sonst hätte ich die letzten 4 Stunden mindestens die Angabe aufs Blatt gebracht...

Ich finde solche Bemerkungen recht unpassend, selbst wenn die Behauptungen stimmen. Zwar weiß ich, daß es "Dozis" gibt, die schlecht erklären, aber es gibt auch "Studis", die bequem sind und ihre Bequemlichkeit gerne mit den bösen "Dozis" entschuldigen.
Und wenn du in dieser meiner Bemerkung die Äußerung eines Verdachts erkennst, dann siehst du das richtig. Aber du kannst den Verdacht ja gerne als unbegründet entlarven ...

30.10.2013, 18:47

Sportstudent

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Ja Hallo Leopold,

Also erstmal Danke für den den Hinweis mit der Bedeutung von "x"! Das ist falsch so sehe ich das auch! Der Pfeil war als logische Folgerung gedacht... aber gut... noch habe ich nicht die Erfahrung in der Beweisführung! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Hinweis mit Urbilder x , Bilder y, y=f(x) usw. hat mich denke ich nach langem Grübeln auch etwas weitergebracht.
Nun, ob der Professor nun schlecht erklärt oder eben nicht; das ist ja meine Sache Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich denke das kann ich in dieser Forendiskussion noch am besten beurteilen. Nun bin ich bin ja nicht in diesem Forum, um über die Kompetenzen anderer Personen in der Uni, geschweigedenn über dein Einschätzungsvermögen gegenüber mir zu reden, sondern über die Lösung der Aufgabe!

Also kommen wir zur Sache! Mein zweiter Versuch dazu:

(b)

Z.z. : $\begin{eqnarray*} \forall A,B\subseteq M : f(A\cap B)\subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in A\cap B \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ ,somit ist $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(A) \end{eqnarray*}$ ,dann ist $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ ,somit ist $\begin{eqnarray*} f(x) \in f(B) \end{eqnarray*}$ ,dann ist $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$

Da (1) und (2) erfüllt gilt: $\begin{eqnarray*} y\in f(A)\wedge y\in f(B) \end{eqnarray*}$

Es folgt: $\begin{eqnarray*} \forall A,B\subseteq M :f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$

q.e.d.

30.10.2013, 19:11

Sportstudent

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RE: Abbildung f: M --> N
Versuch

(a)

Z.z. : $\begin{eqnarray*} \forall A,B \subseteq N: f^{-1} (A\cap B) = f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) \end{eqnarray*}$

Beweis:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

Sei $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)\in (f^{-1}(A\cap B)) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)\in f^{-1}(A)\wedge f^{-1}(x)\in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)\in (f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$

Es folgt: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A\cap B)= f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "

Sei $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)\in (f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)\in f^{-1}(A)\wedge f^{-1}(x)\in f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)\in (f^{-1}(A\cap B)) \end{eqnarray*}$

Es folgt: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=f^{-1}(A\cap B) \end{eqnarray*}$

q.e.d.

30.10.2013, 21:49

Sportstudent

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Wie siehts aus? Kann man das so lassen?

02.11.2013, 23:23

Sportstudent

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?

02.11.2013, 23:49

Leopold

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Du tust so, als gäbe es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ abbildet (wobei du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ schreibst). Solch eine Abbildung braucht es aber nicht zu geben. $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bedeutet hier etwas ganz anderes. Eingesetzt werden Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , nicht Elemente von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ sind diejenigen Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.
Insofern ergeben deine Überlegungen keinen Sinn.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ x \mapsto y = x^2 \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} M=N=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Als Beispiel nehme ich $\begin{eqnarray*} A = [-1,4) \end{eqnarray*}$ (das reelle Intervall von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ einschließlich $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und ausschließlich $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ). Für $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ muß man jetzt alle Elemente in $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ suchen, deren Bilder in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen. (Laß dich nicht davon irritieren, daß die Zahlen im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,0) \end{eqnarray*}$ gar nicht als Bilder unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vorkommen.)

Was ist also $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ ?

03.11.2013, 17:02

Sportstudent

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Ist die Aufgabe (b) also schon mal so richtig?

03.11.2013, 17:06

Leopold

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Freude

04.11.2013, 21:54

Sportstudent

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Danke ich denke ihr konntet mir viel helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bis dann

Wink

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