Welche Formulierung (Polyeder) ist besser?

30.10.2013, 09:42

mathemäuschen

Welche Formulierung (Polyeder) ist besser?

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und bräuchte einen kleinen Denkanstoß...

Also, gegeben sind zwei Formulierungen:

P1:

$\begin{eqnarray*} P1:= x\in \mathbb R ^3 mit \begin{cases}x_1+x_3\leq 1 \\ x_1+x_2\leq 1 \\ x_1-x_3\leq 0 \\ x_i\geq 0,i=1,2,3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

P2:

$\begin{eqnarray*} P2:= x\in \mathbb R ^3 mit \begin{cases}x_1\leq 0 \\ x_2\leq 1 \\ x_3\leq 1 \\ x_i \geq 0,i=1,2,3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

a)
Zuerst ist z.z., dass
$\begin{eqnarray*} P_1 \cap \mathbb B ^3=P_2 \cap \mathbb B ^3 \end{eqnarray*}$ .
b)
Danach soll man sagen, welche der beiden Formulierungen besser ist und warum (und ob eine ideal ist).

Meine Ideen:
Also, ich habe bis jetzt:

a)
$\begin{eqnarray*} P_1 \cap \mathbb B ^3= \left\{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1)\right\}=P_2 \cap \mathbb B ^3 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ist besser als $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ .
Dazu z.z.
1. $\begin{eqnarray*} P_2 \subseteq P_1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} P_2 \neq P_1 \end{eqnarray*}$

zu 2: Wähle $\begin{eqnarray*} k=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \in P_1, k \notin P_2 \Rightarrow P_2 \neq P_1 \end{eqnarray*}$

zu 1: Hier weiß ich nicht weiter...

Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte!

Vielen Dank,

Euer Mathemäuschen

30.10.2013, 11:50

HAL 9000

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Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} \end{eqnarray*}$ ? Der Rechnung nach würde ich raten, dass du damit die ganzen Zahlen meinst, üblicher ist da die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von mathemäuschen
Dazu z.z.
1. $\begin{eqnarray*} P_2 \subseteq P_1 \end{eqnarray*}$

[...]

zu 1: Hier weiß ich nicht weiter...

Es geht dir also noch um den Nachweis $\begin{eqnarray*} P_2\subseteq P_1 \end{eqnarray*}$ ?

Aufgrund von $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in P_2 \end{eqnarray*}$ sind ja für eine Prüfung von " $\begin{eqnarray*} x\in P_1 \end{eqnarray*}$ " die dazu geltenden Bedingungen sehr einfach verifizierbar.

30.10.2013, 17:02

mathemäuschen

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Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb B \end{eqnarray*}$ sind die binären Zahlen gemeint.

Also meinst das ungefähr so?

Aus $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} P_1:=\left\{x \in \mathbb R^3|x_3\leq1,x_2\leq1, x_i \geq 0, i=1,2,3 \right\}=P_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P_2 \subseteq P_1 \end{eqnarray*}$

30.10.2013, 17:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathemäuschen
Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb B \end{eqnarray*}$ sind die binären Zahlen gemeint.

Kenn ich nicht. Für mich ist Binär/Dezimal usw. nur eine Darstellungsform, aber kein Zahlbereich. smile

Zitat:

Original von mathemäuschen
$\begin{eqnarray*} P_1:=\left\{x \in \mathbb R^3|x_3\leq1,x_2\leq1, x_i \geq 0, i=1,2,3 \right\}=P_2 \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{eqnarray*} P_1=P_2 \end{eqnarray*}$ meine ich nicht, denn das stimmt ja auch nicht.

Also nochmal ganz genau:

$\begin{eqnarray*} P_2\subseteq P_1 \end{eqnarray*}$ kann man nachweisen, indem man für jedes $\begin{eqnarray*} x\in P_2 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x\in P_1 \end{eqnarray*}$ zeigt. Gehen wir also von einem $\begin{eqnarray*} x\in P_2 \end{eqnarray*}$ aus, dann hat dieses x gemäß obiger Definition zwangsläufig die Komponente $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ , und mit den anderen Eigenschaften gilt dann offenbar auch $\begin{eqnarray*} x_1+x_2 = x_2\leq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_1+x_3 = x_3\leq 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_1-x_3 = -x_3\leq 0 \end{eqnarray*}$ (letzteres wegen $\begin{eqnarray*} x_3\geq 0 \end{eqnarray*}$ ). Damit sind alle Bedingungen erfüllt und es gilt somit auch $\begin{eqnarray*} x\in P_1 \end{eqnarray*}$ .

Die Umkehrung gilt natürlich nicht, du selbst hast das Beispiel $\begin{eqnarray*} (0.5,0.5,0.5) \end{eqnarray*}$ doch bei 2. genannt!

30.10.2013, 18:20

mathemäuschen

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Oh ja, natürlich. Da hast du recht. Hammer

Kann ich die Antwort auf die Frage nach der idealen Lösung so formulieren:

$\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ist ideal $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow P_2=conv(X) \end{eqnarray*}$ (laut Satz in der Vorlesung). Die konvexe Hülle ist die kleinste konvexe Menge, die X enthält. $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ ist offentsichtlich (anhand der Ungleichungen) diese Menge und somit ideal.

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