Mengenbeweis

30.10.2013, 11:39

Erdbeer

Mengenbeweis

Meine Frage:
Hallo.

Ich bin im ersten Semester in Mathe und weiß nicht wie ich das hier beweisen soll:

Seien M1, M2,..., Mn endliche Mengen. Beweisen sie folgendes Faktum:

#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^n Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow M1, M2,..., Mn \end{eqnarray*}$ sind paarweise disjunkt

Meine Ideen:
An sich ist das logisch, aber wie ich das beweisen soll, weiß ich nicht :/ Vielleicht kann mir da jemand ein Rat geben.

30.10.2013, 11:54

jimmyt

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RE: Mengen beweis
Das kann man mit vollständiger Induktion beweisen.
Sagt dir die vollständige Induktion etwas?

30.10.2013, 12:06

Erdbeer

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RE: Mengen beweis
Ja das sagt mir was. Vielen Dank für den Tip smile

Dabei darf ich doch das erste vor dem Gleich Zeichen doch außer Acht lassen oder?

30.10.2013, 12:28

jimmyt

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RE: Mengen beweis

Zitat:

Original von Erdbeer
...
Dabei darf ich doch das erste vor dem Gleich Zeichen doch außer Acht lassen oder?

Meinst du das hier?
# $\begin{eqnarray*} \left (\bigcup_{k=1}^n M_k \right ) = \dots \end{eqnarray*}$

Wenn ja, nein darfst du nicht. Das gehört doch dazu.

30.10.2013, 12:47

Erdbeer

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RE: Mengen beweis
Puuh... ich muss jetzt zur Uni. Ich werd mal das versuchen, wenn ich wieder zu Hause bin.

30.10.2013, 20:33

Erdbeer

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RE: Mengenbeweis
I.A. n=1

#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^1 Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow M1 \end{eqnarray*}$

I.S. n=>n+1

#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow M1, M2,..., Mn, Mn+1 \end{eqnarray*}$

I.V.
#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} =<br /> #([latex]\bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) \end{eqnarray*}$ + #(Mn+1)

=M1, M2,...,Mn, Mn+1

Ich hoffe du kommst nochmal on und kannst nochmal drüber schauen :P
Ist das richtig und würde das ausreichen?

30.10.2013, 21:48

Noah

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RE: Mengenbeweis
Ne das reicht leider nicht aus. Dein Induktionsschritt schreibst du ja einfach nur hin. Du zeigst aber nicht, dass das so gilt.

Tipp: Benutze die Induktionsvoraussetzung (Die Diskunktheit der Mengen $\begin{eqnarray*} M_1,M_2...M_{n+1} \end{eqnarray*}$ ) um den Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} |\bigcup\limits_{k=1}^{n+1}M_k|=\sum\limits_{k=1}^{n+1}|M_k| \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

30.10.2013, 22:07

jimmyt

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RE: Mengenbeweis
Ein paar Anmerkungen:

Zitat:

Original von Erdbeer
I.A. n=1

# $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^1 M_k \right ) =\sum_{k=1}^1 \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_k)~\Longleftrightarrow ~M_1 \end{eqnarray*}$

Ich würde es einen Tick ausführlicher machen:

(I.A.) Induktionsanfang: n=1

# $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^1 M_k \right ) = \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_1) = \sum_{k=1}^1 \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_k) ~\Longleftrightarrow ~M_1 \end{eqnarray*}$ ist die einzige Menge und damit Bedingung erfüllt.

Zitat:

Original von Erdbeer
I.S. n=>n+1

#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \Rightarrow M1, M2,..., Mn, Mn+1 \end{eqnarray*}$

I.V.
#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} =<br /> #([latex]\bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) \end{eqnarray*}$ + #(Mn+1)

=M1, M2,...,Mn, Mn+1

Ich hoffe du kommst nochmal on und kannst nochmal drüber schauen :P
Ist das richtig und würde das ausreichen?

Die Induktionsvoraussetzung kommt vor dem Induktionsschritt und wird mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ formuliert.
Während des Induktionsschritts sollte die I.V. eingesetzt werden.

Vorschlag:

(I.S.) Induktionsschluß:

a) Induktionsvoraussetzung (Annahme):
Es gilt für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

# $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^{n} M_k \right ) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_k) ~ \Longleftrightarrow ~ M_1, M_2, \dots, M_n \end{eqnarray*}$ sind paarweise disjunkt

b) Induktionsbehauptung:

# $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^{n+1} M_k \right ) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_k) ~ \Longleftrightarrow ~ M_1, M_2, \dots, M_n, M_{n+1} \end{eqnarray*}$ sind paarweise disjunkt

c) Induktionsschritt:
Aus a) folgt b). Wir nehmen an, dass die Äquivalenz für n Mengen gilt und zeigen, dass dann auch die Behauptung für n+1 Mengen stimmt.

n -> n+1:

$\begin{eqnarray*} M_1, M_2, \dots, M_n, M_{n+1} \end{eqnarray*}$ sind paarweise disjunkt

$\begin{eqnarray*} \Longleftrightarrow \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} ~ \left ( \bigcup_{k=1}^{n+1} M_k \right ) = ~ \dots ~ \stackrel{\text{I.V.}}{=} ~ \dots ~ = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_k) \end{eqnarray*}$

30.10.2013, 22:08

Erdbeer

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RE: Mengenbeweis
[Ups mein Beitrag davor sollte sich auf Noah beziehen. Den von jimmy hatte ich da noch nciht gesehen."]

Beim vorrigem Beitrag wurde irgendwie ein Teil des I.V. bei mir verschlungen. Ich meinte natürlich:

#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} =<br /> #([latex]\bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \end{eqnarray*}$ #(Mk)+ #(Mn+1)

Dann sind doch alle Mengen von M1,....Mn in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \end{eqnarray*}$ #(Mk) enthalten und dann kommt noch dazu die Menge Mn+1 dazu.
Daher = M1,M2,....Mn, Mn+1

Reicht es trotzdem nicht? ich wüsste nämlich nicht was ich da sonst noch einzufügen hätte :/

30.10.2013, 22:28

jimmyt

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RE: Mengenbeweis

Zitat:

Original von Erdbeer
[Ups mein Beitrag davor sollte sich auf Noah beziehen. Den von jimmy hatte ich da noch nciht gesehen."]

Beim vorrigem Beitrag wurde irgendwie ein Teil des I.S. bei mir verschlungen. Ich meinte natürlich:

#( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} M_k) = \textcolor{red}{~ \dots ~ \stackrel{I.V.}{=} ~ \dots ~} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \end{eqnarray*}$ #(Mk) $\begin{eqnarray*} =<br /> #([latex]\bigcup_{k=1}^{n+1} Mk) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \end{eqnarray*}$ #(Mk)+ #(Mn+1)

Sieht ganz ok aus, aber anstelle der Pünktchen wäre es gut, wenn noch ein Zwischenschritt kommt,
und danach die I.V. eingesetzt wird (das Ergebnis sieht dann so aus wie dein letzter Schritt).

Was kann man denn damit

# $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^{n+1} M_k \right ) \end{eqnarray*}$

machen, wenn die Mengen disjunkt sind?

30.10.2013, 22:41

Erdbeer

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RE: Mengenbeweis
Das wäre dann doch auch nur #( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n+1} M_k) = \end{eqnarray*}$ #( $\begin{eqnarray*} \bigcup_{k=1}^{n} M_k) \cup #Mn+1 \end{eqnarray*}$

Oder versteh ich deine Frage falsch?

30.10.2013, 23:00

jimmyt

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Naja, du hast es fast.

Vielleicht bekomme ich jetzt wieder einen Rüffel, weil keine Komplettlösungen bzw. zu viel Infos gepostet werden sollen.
Aber du hast es ja im Prinzip. Die Mächtigkeit einer Menge ist eine Zahl.

Also:

# $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^{n+1} M_k \right )= \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} \left ( \bigcup_{k=1}^{n} M_k \right ) \textcolor{red}{+} \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (M_{n+1}) \stackrel{\text{I.V. einsetzen}}{=}\dots \end{eqnarray*}$

30.10.2013, 23:20

Erdbeer

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Ah okay. Ja ist auch sinnvoll, dass man mit nachdenkt und durch kleine Schuppser in die richtige Richtuung gelenkt wird. Dann vielen Dank smile

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