Grenzwerte Berechnen

30.10.2013, 14:09

Alfred Gäbeli

Grenzwerte Berechnen

Meine Frage:
Hallo, habe hier folgende Aufgabe:

Zeige dass die folgenden Folgen konvergieren und berechne deren Limes.

a) $\begin{eqnarray*} \sqrt1,\sqrt{1+\sqrt1},\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt1}},\cdots \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} $\sqrt{5},\sqrt{5\sqrt{5}},\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{5}}},\cdots \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a)
ich habe mir mal die ersten 5 Glieder der Folge aufgeschrieben. dann versucht zu vereinfachen. habe versucht die Wurzel als $\begin{eqnarray*} ()^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Ohne viel Erfolg.
Habe mir dann noch eine explizite Bildungsvorschrift aufgeschriben:
$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{1+a_{n-1}} \end{eqnarray*}$
Daraus lässt sich sicher was machen. nur was? verwirrt

zu b)
hier hab ich auch versucht mit der $\begin{eqnarray*} ()^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ Schreibweise mal die ersten fünf Glieder zu vereinfachen. Das ging auch besser, da man hier die Potenzgesetze besser nutzen kann.
Ich hab mir auch eine explizite Bildungsvorschrift für die Folge zusammengeschustert: $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{5\cdot a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ , mit der ich aber wie bei a) nichts anzufangen weiss.
Viel interessanter jedoch sind die Exponenten der Folge nach Vereinfachung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16},\frac{31}{32},\cdots \end{eqnarray*}$ (ich habe die Basis 5 jeweils weggelassen.)
Der Nenner wird also jeweils immer mit 2 multipliziert und der Zähler ist gleich dem Nenner minus 1.
Also ergibt sich sowas wie $\begin{eqnarray*} a_n=2\cdot a_{n-1} \end{eqnarray*}$ für den Nenner und für den Zähler $\begin{eqnarray*} a_n=2\cdot a_{n-1}-1 \end{eqnarray*}$ .
Wie mache ich nun weiter?

30.10.2013, 14:19

klarsoweit

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RE: Grenzwerte Berechnen
Ein Rezept, wie man mir rekursiven Folgen umgehen kann:

1. Nimm an, die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert a. Aus der Rekursionsvorschrift kannst du den Wert für a bestimmen.

2. Zeige, daß die Folge monoton steigt (fällt) und nach oben (unten) beschränkt ist.

30.10.2013, 14:50

Alfred Gäbeli

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Okay, ich weiss mal wieder nicht genau wie ich das machen soll. (Wie immer in Analysis). Ich probier einfach mal was.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty a_n}=a \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{5\cdot a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-5a=0 \end{eqnarray*}$

die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind also 0 bzw 5 und diese kommen als Grenzwert in frage.

so etwa?

Zitat:

2. Zeige, daß die Folge monoton steigt (fällt) und nach oben (unten) beschränkt ist.

Wie stelle ich das an? verwirrt

30.10.2013, 15:26

Grautvornix

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Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
...die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind also 0 bzw 5 und diese kommen als Grenzwert in frage.

so etwa?

Ja, genau!

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
Wie stelle ich das an? verwirrt

1. Zeige zunächst (z.B. per Induktion), dass die Folge durch 5 nach oben beschränkt ist.
2. Daraus kannst Du dann leicht folgern, dass die Folge monoton wächst.

Beschränktheit und Monotonie impliziert dann Konvergenz.

3. Den potentiellen Grenzwert 0 solltest Du dann noch kurz wegdiskutieren (z.B dadurch das die Folge nach unten durch 1 beschränkt ist).

01.11.2013, 12:39

Alfred Gäbeli

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ich habe das wie folgt versucht:

Zeige dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt ist:
Induktionsanfang: n=0
$\begin{eqnarray*} \sqrt5\leq5 \end{eqnarray*}$
stimmt schonmal.
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n-1 \rightarrow n \end{eqnarray*}$
zu zeigen $\begin{eqnarray*} a_{n-1}=\frac{a_n^2}{5}\leq \sqrt{5a_{n-1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=\frac{25}{5}\leq 25 \end{eqnarray*}$
macht das Sinn verwirrt

Monotonie hab ich wie folgt versucht:
zz. ist dass $\begin{eqnarray*} a_{n-1}\leq a_n \end{eqnarray*}$
dh. $\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n-a_{n-1} \end{eqnarray*}$

aber was nun?

01.11.2013, 13:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n-1 \rightarrow n \end{eqnarray*}$
zu zeigen $\begin{eqnarray*} a_{n-1}=\frac{a_n^2}{5}\leq \sqrt{5a_{n-1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n-1}=\frac{25}{5}\leq 25 \end{eqnarray*}$
macht das Sinn verwirrt

Für mich nicht. Es ist doch im Induktionsschritt dieses zu zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \leq 5 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} a_n \leq 5 \end{eqnarray*}$ .

Die Monotonie kann man ebenfalls mit Induktion machen. smile

01.11.2013, 14:34

Alfred Gäbeli

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*seufz*

ich versuchs nochmal
Induktionsschritt:
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n-1 \rightarrow n \end{eqnarray*}$
zz. ist, dass $\begin{eqnarray*} a_n \leq 5 \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung V, dass $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \leq 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{5\cdot a_{n-1}} \leq 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{5\cdot 5}\leq5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{25}\leq5 \end{eqnarray*}$
ja??

Zitat:

Die Monotonie kann man ebenfalls mit Induktion machen. smile

ich habs nicht so mit Induktion. Ehrlich. Ich hab mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n-a_{n-1} \end{eqnarray*}$ sein soll.
also $\begin{eqnarray*} 0\leq \sqrt{5a_{n-1}}-a_{n-1} \end{eqnarray*}$

kann man damit nichts anfangen?

01.11.2013, 15:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n-1 \rightarrow n \end{eqnarray*}$
zz. ist, dass $\begin{eqnarray*} a_n \leq 5 \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung V, dass $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \leq 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{5\cdot a_{n-1}} \leq 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{5\cdot 5}\leq5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{25}\leq5 \end{eqnarray*}$
ja??

Nun ja, formal kann man das besser gestalten, denn bei dem, was du schreibst, werden belegte und zu beweisende Aussagen vermengt, wobei auch nicht klar herauskommt, was aus wem gefolgert wird. Schreibe es einfach in eine Zeile:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{5\cdot a_{n-1}} \underbrace{\leq}_{I.V.} \sqrt{5\cdot 5} = \sqrt{25} = 5 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
ich habs nicht so mit Induktion. Ehrlich.

Na ja, so schlimm ist die nicht und Übung macht den Meister. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
Ich hab mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n-a_{n-1} \end{eqnarray*}$ sein soll.
also $\begin{eqnarray*} 0\leq \sqrt{5a_{n-1}}-a_{n-1} \end{eqnarray*}$

kann man damit nichts anfangen?

Also ehrlich gesagt: ich nicht.

01.11.2013, 15:47

Alfred Gäbeli

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Zitat:

Also ehrlich gesagt: ich nicht.

Ich hab im Arens gelesen, dass es - um eine Folge auf Monotonie zu prüfen - prinzipiell zwei Techniken gibt.
1. Man betrachtet die Differenz zweier Folgeglieder
2. Man untersucht den Quotienten zweier Folgeglieder.

Da du mit 1. nichts anfangen kannst, tippe ich auf das zweite. das hat aber wenig mit Induktion zu tun und somit habe ich garkeinen Ansatz.
Könntest du mir eventuell einen Tipp geben?

01.11.2013, 16:09

klarsoweit

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Bei der Induktion mußt du zeigen, daß aus $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \leq a_n \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt.

03.11.2013, 16:23

Alfred Gäbeli

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zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} a_{n-1}\leq a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt{5\cdot a_{n-1}}\underbrace{\leq}_{I.V.} a_{n+1}=\sqrt{5\cdot a_n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5\cdot a_{n-1}}\leq \sqrt{5\cdot a_n} \end{eqnarray*}$

und gemäss Voraussetzung ist ja $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , also stimmt obige Ungleichung.

geht das so schonmal in die richtige Richtung?

04.11.2013, 09:09

klarsoweit

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Laß die letzte Zeile weg und schreibe:

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{5\cdot a_{n-1}} \underbrace{\leq}_{I.V.} \sqrt{5\cdot a_n} = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Und fertig. Wie man sieht, ein simpler Einzeiler. Augenzwinkern

Was noch fehlt, ist der Induktionsanfang.

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