Verschoben! Aufgabe Wachstum - (linear, prozentuell)

30.10.2013, 15:44

Tipso

Aufgabe Wachstum - (linear, prozentuell)

Hallo,

Aufgabenstellugn:

Zitat:

Das Bruttoinlandsprodukt eines Landes stieg zwischen 1990 und 1999 von 583 Mrd. GE auf 1539 Mrd. GE. Es wird vorausgesetzt, dass die relative Wachstumsrate des BIP konstant ist.In wie vielen Jahren (ab 1999) erreicht das BIP eine Höhe von 2154.6 Mrd. GE?

Ich würde heir aufgrund der Angabe "konstant" auf linear setzen.

Meine Gleichungen würden folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} y(1999) = k*9+1990 = 1539 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1990) = k+x + 0 = 583 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y (x) = k*x + 1999 = 2154,6 \end{eqnarray*}$

Gleichugnssystem lösen als nächsten Schritt?

lg

30.10.2013, 16:19

adiutor62

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RE: Aufgabe Wachstum - (Linear, prozentual)
Dein Ansatz ist seltsam. Die Jahreszahlen haben in der Gleichung nichts verloren.

$\begin{eqnarray*} k=(1539-583)/9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1539+k*n=2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= ? \end{eqnarray*}$

30.10.2013, 17:25

riwe

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RE: Aufgabe Wachstum - (Linear, prozentual)

Zitat:

Original von adiutor62
Dein Ansatz ist seltsam. Die Jahreszahlen haben in der Gleichung nichts verloren.

$\begin{eqnarray*} k=(1539-583)/9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1539+k*n=2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= ? \end{eqnarray*}$

üblicherweise ist aber eine Geradengleichung etwas anders definiert, denke ich unglücklich

30.10.2013, 18:04

adiutor62

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RE: Aufgabe Wachstum - (Linear, prozentual)
@riwe:

Eine klassische Geradengleichung aufzustellen war nicht mein Ziel. Ich wollte mit den Infos direkt zum Ziel. smile

30.10.2013, 18:31

sulo

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RE: Aufgabe Wachstum - (Linear, prozentual)
Deine Informationen hast du leider ohne jegliche Erklärung verfasst. Ich bezweifle, dass sie auf diese Weise hilfreich sind.

Viel besser wäre es gewesen, du hättest beschrieben, wie Tipso vorgehen muss und er hätte die Gleichungen aufgestellt.

Bei Textaufgaben ist das Aufstellen der Gleichungen die eigentliche Herausforderung.
Deine Hilfe besteht jedoch oft darin, gerade die Gleichungen schon aufzuschreiben. Das ist dann nicht im Sinne unseres Hilfeprinzips, da es quasi eine Komplettlösung darstellt.

Es wäre gut, wenn du bei Textaufgaben diesbezüglich etwas zurückhaltender wärst und nur Tipps in Textform geben würdest (also keine Gleichungen aufschreibst) - ganz besonders am Anfang eines Threads.

30.10.2013, 18:57

conlegens

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RE: Aufgabe Wachstum - (Linear, prozentual)
@sulo:

Von Tipso wurden solche Aufgaben schon zig-mal reingestellt. Sie müsste längst wissen, worum es geht.
Irgendwie dreht man sich im Kreis. Der Lerneffekt ist offenbar nicht sehr groß. Da helfen wohl auch noch so ausführliche Hinführungen wenig.Ich hatte ohnehin gezögert zu antworten. Solche einfachen Gleichungen müsste sie (Abiturientin, soweit ich mitbekommen habe) eigentlich nachvollziehen können. traurig

30.10.2013, 19:01

Tipso

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Hallo,

Tut mir leid, ich habe vergessen hinzuzufügen das ich erst in 1,5 h online bin.

$\begin{eqnarray*} k=(1539-583)/9 = 106,22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1539+k*n=2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= \frac{2154,6 - 1539}{106,22}= 5,8 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich mich nur noch um das Verstehen kümmern.
Ich habe noch nicht ganz realisiert, warum mein Lösungsvorschlag falsch ist.

Es handelt sich auf jeden Fall um eine Lineare Funktion, da es sich um ein konstanten Wachstum handelt.

30.10.2013, 19:19

sulo

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Tja, wer hilft jetzt weiter in dem Thread?

30.10.2013, 19:43

sulo

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Dann springe ich mal ein.

Wenn du nicht verstehst, warum dein Lösungsvorschlag falsch ist, dann erkläre mit deine Rechnung doch einmal.

smile

30.10.2013, 19:58

Tipso

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$\begin{eqnarray*} k=(1539-583)/9 = 106,22 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist es richtig.

$\begin{eqnarray*} 1539+k*n=2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= \frac{\left(2154,6 - 1539\right) }{106,22}= 5,8 \end{eqnarray*}$

Ich finde meinen Fehler nicht, ich tippe auf einen Rechenfehler.(Rechenregel misachtet.)

Edit:
Vll. die klammer?

30.10.2013, 20:09

sulo

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Ach so, du meinst deine aktuelle Rechnung, ich dachte, du würdest nicht verstehen, warum deine Rechnung am Anfang des Threads nicht richtig ist. Augenzwinkern

Warum meinst du, dass deine Rechnung nicht richtig ist? verwirrt

30.10.2013, 20:27

riwe

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} k=(1539-583)/9 = 106,22 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist es richtig.

$\begin{eqnarray*} 1539+k*n=2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= \frac{\left(2154,6 - 1539\right) }{106,22}= 5,8 \end{eqnarray*}$

Ich finde meinen Fehler nicht, ich tippe auf einen Rechenfehler.(Rechenregel misachtet.)

Edit:
Vll. die klammer?

ich würde auch nicht weiter suchen, das stimmt doch Augenzwinkern

30.10.2013, 20:39

Tipso

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Aufgerundet also 5,8 bzw. 6 Jahre. verwirrt

---------------------------------------------------

Entschuldige die Verwirrung, ich habe Sie falsch verstanden:

$\begin{eqnarray*} y(1999) = k*9+1990 = 1539 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1990) = k+x + 0 = 583 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y (x) = k*x + 1999 = 2154,6 \end{eqnarray*}$

Diesen Teil verstehe ich natürlich nicht.
Was ich gemacht habe?

In der Angabe sind zwei Gleichungen gegeben.

$\begin{eqnarray*} y(1990) = k+x + 0 = 583 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y(9) = k*9+1990 = 1539 \end{eqnarray*}$

Wie ich diese nun schreibe ist meiner Meinung nach mir überlassen.

Die dritte Gleichung beschreibt meine Gleichung mit dem gesuchten Jahr.

$\begin{eqnarray*} y (t) = k*t + 9 = 2154,6 \end{eqnarray*}$

Aus den ersten beiden Gleichungen lässt sich die Steigung berechnen, bis dahin also richtig.
Meine dritte Gleichung hat einen Fehler.

Ich habe für d das jahr angegeben statt das Bip.
Warum das Jahr falsch ist, daran arbeite ich noch. smile

30.10.2013, 20:53

sulo

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@Tipso

Wenn du mich meinst mit deiner Rechnung, dann hättest du sie lieber nicht so ausführlich aufgeschrieben.
Ich wollte eher in Worten wissen, was du dir gedacht hast. Augenzwinkern

Du bist ja offensichtlich von einer Geradengleichung nach dem Schema y = m·x + n ausgegangen.

Dann fragt sich aber: Was ist n? Warum ist es jedesmal anders?

So wäre es ok:
$\begin{eqnarray*} y(1999) = 1539 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1990) = 583 \end{eqnarray*}$

Das, was dazwischen drinstand, vergiss mal lieber. Augenzwinkern

Es ist dir also keinesfalls selbst überlassen, was du da hinschreibst. Es muss nämlich auch Sinn machen. Augenzwinkern

Auch das hier ist beides Unfug:
$\begin{eqnarray*} y (x) = k*x + 1999 = 2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y (t) = k*t + 9 = 2154,6 \end{eqnarray*}$

Du kannst doch keine Jahrszahlen bzw. Jahre addieren und eine Summe in € erhalten. Darauf hat auch schon adiutor hingewiesen.

smile

30.10.2013, 21:01

riwe

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$\begin{eqnarray*} (I) \quad{ }y=k\cdot x+d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (II) \quad{ }583=1990\cdot k+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (III) \quad{ }1539=1999\cdot k+d \end{eqnarray*}$

aus ((III) - (II) berechnest du nun k (richtig Augenzwinkern

)
nun mußt du zuerst aus (II) oder (III) das d ermitteln!
und dann setzt du in (!) ein

$\begin{eqnarray*} 2154,6=k\cdot x +d \end{eqnarray*}$ und bekommst daraus das gewünschte Ergebnis, wenn du noch 1999 abziehst

30.10.2013, 21:02

Tipso

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Jetzt habe ich es verstanden und nachvollgezogen. Freude

Das Ergebnis müsste mit 5,8 bzw 6 Jahren richtig sein. Ich habe leider nicht die Möglichkeit es auf die Richtigkeit zu kontrollieren.

30.10.2013, 21:11

Tipso

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habe 2004,8 erhalten, also richtig. Freude

Problem:

relative Wachstumsrate - könnte doch auch prozentualer Wachstum sein?

30.10.2013, 22:01

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, prozentuales Wachstum ist exponentiell, nicht linear.

(Ich dachte, riwe würde den Thread betreuen, deswegen habe ich mich erst mal zurückgehalten.)

smile

30.10.2013, 22:07

mYthos

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Ein prozentuales Wachstum bedingt einen sogenannten Wachstumsfaktor, dieser ist (1 + p/100) bei p% und dieses Wachstum verläuft exponentiell.

Verdeutlichung mittels eines Beispiels:
Wenn eine Größe b jedes Jahr um 5% wächst, dann ist sie nach 10 Jahren auf $\begin{eqnarray*} b \cdot 1.05^{10} \end{eqnarray*}$ angewachsen. Der Zuwachs macht rd. 63% aus gegenüber 50% bei einem linearen Wachstum.

@sulo
Ich bin schon wieder weg. Beim riwe ist man nie sicher, denn er ist meistens als Geist unterwegs Big Laugh

mY+

30.10.2013, 22:21

Tipso

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Dann mal los smile

$\begin{eqnarray*} B(t) = B_0 *a^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(0) = B_0*a^0 = 583 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(9) = 583*a^9 = 1539 \end{eqnarray*}$

Ich glaube, die erste Gleichung ist obsolent?
a lässt sich doch alleine aus der zweiten Gleichung berechnen?

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt[9]{\frac{1539}{583} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 1,11 \end{eqnarray*}$

gesucht:

$\begin{eqnarray*} B(x) = 1539 * a^x = 2154,6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = log\left(\frac{2154,6}{1530} \right) / log(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 3,12 \end{eqnarray*}$ Jahre

Richtig?
Woher weiß ich ob es sich um einen exponentiellen oder linearen Wachstum handelt, wenn es nicht angegeben ist?

06.11.2013, 17:21

mYthos

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Ja, sieht gut aus! Das habe ich auch so smile

_____________________

Zitat:

Es wird vorausgesetzt, dass die relative Wachstumsrate des BIP konstant ist

Daraus sollte eigentlich die richtige Interpretation folgen .. .
Deine Frage ist berechtigt, denn es ist nicht schlüssig, dass es sich um ein lineares Wachstum handelt.
Denn dabei muss die (absolute) Zuwachsrate pro Jahr konstant bleiben (d. i. dann die Steigung der linearen Funktion).
Unter der jährlichen (relativen) Wachstumsrate ist das Verhältnis des Bestandes nach einem Jahr zum jenem am Anfang des Jahres zu verstehen. Dieses ist zwar ebenfalls konstant (in deiner Rechnung ist es das a), hat aber zur Folge, dass sich der Gesamtbestand von Jahr zu Jahr exponentiell erhöht, eben nicht linear.
Das funktioniert nun genau so, wie du es zuletzt gerechnet hast und ist meiner Meinung nach auch richtig so bzw. vom Aufgabensteller so geplant.

(Sorry, ich war leider 4 Tage krank ..)

mY+

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