Lebesgue-messbare Menge

30.10.2013, 15:48

Skyrider21

Lebesgue-messbare Menge

Meine Frage:
Hey ihr,
wir nehmen gerade das äußere Maß und dazu auch Lebesgue messbare Menge durch und müssen zeigen, dass Mengen Lebesgue messbar sind. Nur wie zeige ich dass so eine Menge $\begin{eqnarray*} L^n \end{eqnarray*}$ - messbar ist?
Als konkretes Beispiel sollen wir die Messbarkeit der leeren Menge, von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und von A\B, wenn $\begin{eqnarray*} A,B \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zeigen.

Meine Ideen:
Messbarkeit haben wir definiert, wenn die Menge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} T \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ additiv zerlegt. Also $\begin{eqnarray*} L^n(T) = L^n(T \cap A) \cup L^n(T - A) \end{eqnarray*}$
Man kann ja jetzt nicht einfach die leere Menge nehmen und für A einsetzen...

Ich habe von dem Thema noch nicht allzu viel Ahnung, deswegen schonmal Danke für jegliche Hilfe! smile

31.10.2013, 18:53

Che Netzer

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RE: Lebesgue-messbare Menge

Zitat:

Original von Skyrider21
Als konkretes Beispiel sollen wir die Messbarkeit der leeren Menge, von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und von A\B, wenn $\begin{eqnarray*} A,B \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zeigen.

Im letzten Teil fehlen sicher Voraussetzungen.

Zitat:

Messbarkeit haben wir definiert, wenn die Menge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} T \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ additiv zerlegt. Also $\begin{eqnarray*} L^n(T) = L^n(T \cap A) \cup L^n(T - A) \end{eqnarray*}$

Hier bezeichnet $\begin{eqnarray*} L^n \end{eqnarray*}$ das äußere Maß? Jedenfalls sollte es sicher $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

Man kann ja jetzt nicht einfach die leere Menge nehmen und für A einsetzen...

Wieso denn nicht?

23.11.2013, 17:48

Skyrider21

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RE: Lebesgue-messbare Menge
Ich hatte jetzt irgendwie Probleme in letzter Zeit mich einzuloggen, deswegen jetzt erst wieder die Antwort.

Stimmt, A und B sollen noch messbar sein und es sei damit das äußere Maß gemeint.

Und ja, wenn man es einfach einsetzt
$\begin{eqnarray*} L^{n}(T) = L^{n}(T \cap \mathbb R ^{n}) + L^{n}( T - \mathbb R) \end{eqnarray*}$ kommt wieder das Lebesgue Maß der Testmenge raus. (bei der leeren Menge dann analog)

Aber wie zeige ich das nun für A\B? Folgt das ebenfalls mit der Definition der Messbarkeit?

23.11.2013, 18:00

Che Netzer

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RE: Lebesgue-messbare Menge

Zitat:

Original von Skyrider21
Aber wie zeige ich das nun für A\B? Folgt das ebenfalls mit der Definition der Messbarkeit?

Da muss man dann ein bisschen mehr machen.
Wisst ihr schon, dass Schnitte messbarer Mengen messbar sind?

23.11.2013, 19:23

Skyrider21

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RE: Lebesgue-messbare Menge
Ja wir wissen, dass abzählbare Schnitte und abzählbare Vereinigungen wieder messbar sind.

23.11.2013, 19:28

Che Netzer

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RE: Lebesgue-messbare Menge
Und vielleicht auch schon, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\setminus B \end{eqnarray*}$ messbar ist, wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ messbar ist? (In dem Fall müsste man doch nicht ein bisschen mehr machen)

23.11.2013, 19:35

Skyrider21

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RE: Lebesgue-messbare Menge
Ne, das haben wir noch nicht gehabt. verwirrt

Wäre das dann nicht eine Eigenschaft der Sigma-Algebra? (die wir erst später haben)

23.11.2013, 20:20

Che Netzer

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RE: Lebesgue-messbare Menge
Ja, dort wird das auch vorkommen.
Dann zeige das mal nun.

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