Endliche Mengen zählen

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30.10.2013, 18:24	JonnyMahony	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Mengen zählen Hallo Matheboard Ich sitze hier an einer Aufgabe die ich nicht so recht verstehe: Aufgabe: Es seien zwei Mengen gegeben A und B, diese haben die endlichen Mengen A hat genau n Elemente und B genau m Elemente, mit n und m sind aus den natürlichen Zahlen mit der Null. Zusätzlich nehmen wir noch an n > m (a) Wieviele Elemente hat A U B mindestens?, wieviele höchstens? (b) Wieviele Elemente hat A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B mindestens?, wieviele höchstens? (c) Wieviele Elemente hat A\B mindestens? wieviele höchstens? (d) Wieviele Elemente hat A x {5}? Wieiele AxB ? Ich habe versucht ein konkretes Beispiel zu nehmen, z.B. : (a) A = {0,1,2} B = {0,1} Dann wäre A U B = {0,1,2} mindestens 2 Elemente, wenn A jetzt nur 0 und 1 hätte dann hätte B nur die 0, darum nur mindestens zwei Elemente. Höchsten alle Elemente die in A sind. (b) A $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ B = {0,1} mindestens 1 Element, ähnliches Argument wie oben, wenn A nur 0 und 1 hätte dann hätte B nur 0 und dann wäre das einzige "Schnittelement" die 0, höchstens so viele Elemente wie in B sind. (c) und (d) weiß ich leider noch kein Ansatz, ausser das bei (c) immer ein letztes Element von A üprig bleiben würde Dann mir jemand sagen ob das so richtig ist und mir weiterhelfen? An meinen Lösungen gefällt mir nicht das sie zu konkret sind(z.B. 2 Elemente), es müsste doch immer allgemeiner sein. Gruss
30.10.2013, 19:41	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Konkrete Beispiele haben leider keine Beweiskraft... Und außerdem, wer hat denn gesagt, dass die Reihenfolge eine Rolle spielt? Es steht nichts davon, dass die Elemente aufeinanderfolgen müssen... A könnte genauso gut 4,5 und 6 enthalten, B hingegen 2 und 83. Da solltest du deine Argumentation nochmal überdenken... Gleiches Problem bei b Behebe erst mal diese Kleinigkeiten, danach kümmern wir uns um den Rest, einverstanden? Lg kgV
30.10.2013, 20:51	JonnyMahony	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kgV Ok ich hab mir jetzt Venn-Diagramme vorgestellt(zwei Kreise die sich schneiden). Bei (a) wären es dann mindestens $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} A \cap B \end{eqnarray}$ Elemente, und höchstens $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ . Also jeweils die Menge ohne den Anteil der anderen Menge. Analog dann (b): Mindestens: $\begin{eqnarray} B \cup A \cap B \end{eqnarray}$ Höchstens: $\begin{eqnarray} A \cup A\cap B \end{eqnarray}$ Also jeweils die Mengen mit den anteile der anderen Menge(?) Ansonsten weiß ich nicht wie ich mir das vorstellen soll ! Hoffentlich macht das jetzt mehr Sinn. Lg
30.10.2013, 21:27	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich weiß nicht ganz, wie du für eine Anzahl auf derartige Mengenformeln kommst... Alle Elemente, die in B, aber nicht im Schnitt liegen als Minimum anzunehmen, ist leider falsch: alles, was in B liegt, liegt auch in $\begin{eqnarray} A\cup B \end{eqnarray}$ , damit ist es unmöglich, den Schnitt auszuschließen, weil der eine Teilmenge von B ist. Analog ist auch deine Schätzung der maximalen Anzahl der Elemente falsch zur b) Es gilt $\begin{eqnarray} B\cup(B\cap A)=B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A\cup(B\cap A)=A \end{eqnarray}$ ... Was ich eigentlich meinte: Erstens: Die Vereinigung ist die Menge aller x, die in A oder in B sind. Wenn A n Elemente hat und B m, wie viele können das dann in Summe maximal sein? Wann tritt dieser Fall ein? Und wie viele sind es im Schlimmsten anzunehmenden Fall (Dass B eine Teilmenge von A ist?) Den Schnitt heben wir uns auch für nachher auf, ok?
30.10.2013, 21:54	JonnyMahony	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das mit der (b) war nicht so toll Und ich hab meine Gedanken jetzt wieder in eine andere Denkrichtung gedreht Es geht ja wirklich nur um die ANZAHL !! Dann ist das ja einfach, so wie du gesagt hast, bei (a) sind es dann einfach: Höchstens: n+m Elemente Mindestens n-m Elemente (die Elemente die in A üprig bleiben) (b) Schnitt ist ja alle x Elemente die in A und in B vorkommen, da bin ich mir auch nicht sicher wie ich mir das vorstellen sollen, aber vielleicht mindestens (n+m)/2 ? hm Lg
30.10.2013, 22:04	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
a) für das Maximum. Das Minimum lautet aber n. Warum, das darfst du mir erklären b) Gibt es überhaupt ein Minimum? Was ist denn, wenn die Mengen disjunkt sind? Und das Maximum? Wann wird denn der Schnitt zweier Mengen möglichst groß (sozusagen das Gegenteil von disjunkt) ?
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30.10.2013, 22:38	JonnyMahony	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Minimum n weil z.B. ein x Element ja aus A oder B sein muss, d.h. wenn es in m ist, dann ist es ja auch gleichzeitig in n weil n >m. Wenn m das Minimum wäre, dann würden ja die Elemente(Anzahl) von n fehlen, was ja aber nicht geht weil x aus A oder B richtig? (b) hm ok dann mindestens kein Element(weil leere Menge wenn disjunkt) und höchstens wenn die Schnittmenge so groß ist das es alle Mengen "überdeckt", aber das geht ja nicht weil n>m also muss es doch in diesem Fall n-m sein, weil n immer eine höhere Anzahl an Elementen hat, und was am Ende üprig bleibt ist das Maximum. LG Danke für die Hilfe !
30.10.2013, 22:54	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) Passt so ungefähr... B eine Teilmenge von A ist, dann sind alle x in B auch in A, plus die paar x, die in A aber nicht in B sind: macht $\begin{eqnarray} m+(n-m)=n \end{eqnarray}$ (b) Jap, mindestens nix... Das Maximum kann ich bei dir von der Begründung her iwie nicht nachvollziehen, aber n-m ist falsch... Richtige Antwort: m. Die Begründung darfst du übernehmen. Tipp: Dieser Fall tritt Ein, wenn B eine Teilmenge von A ist. Für den weiteren Verlauf ein paar Hinweise: (c) Nun, wann bleibt denn möglichst viel von A übrig, nachdem ich B abgezogen habe...? B muss ... sein Das wäre das Maximum. Das Minimum erreicht man, wenn B möglichst viel von A wegnimmt. Wie müssen B und A dann beschaffen sein? (d) Nun, hier hast du es mit dem Kartesischen Produkt zu tun. Weißt du, wie man die Anzahl der Elemente dieses Produktes bestimmt? Tipp: Jedes mit jedem Für heute verabschiede ich mich damit, bis morgen
30.10.2013, 23:04	JonnyMahony	Auf diesen Beitrag antworten »
Na gut, ist ja auch schon spät, ich hör jetzt auch auf. Vielen lieben Dank für die Hilfe Ich werd morgen weiter machen. Ich wünsch eine gute Nacht. LG

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