auflösen nach x

07.08.2004, 12:16

maf1973

auflösen nach x

hallo vielleicht kann mir hier jemand helfen! ich möchte die allgemeine gleichung
V=(x+a)*(x+b)+(x+c)
nach x auflösen. ich habe es schon über binomische formel versucht bekomme es aber nicht hin. vielleicht ist auch der ansatz falsch!

07.08.2004, 12:23

Mathespezialschüler

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RE: auflösen nach x
Dann zeig doch mal deine Versuche! Is eigentlich relativ einfach.

07.08.2004, 14:08

maf1973

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RE: auflösen nach x
Es geht dabei um ein einfaches mathematisches modell!
ich habe eine kubus mit den seitenlängen a+x, b+x, c+x und dem Volumen V. Dabei sind a,b,c bekannt und V kann daraus bersechnet werden. nun möchte ich x für beliebige a,b und c werte ausrechnen!
dafür benötige ich eine allgemeine Formel!
maf

07.08.2004, 14:27

Mathespezialschüler

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RE: auflösen nach x
Du hast aber etwas anderes geschrieben, nämlich

$\begin{eqnarray*} V\ =\ (a+x)\cdot (b+x)\ +\ (c+x) \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} V\ =\ (a+x)\cdot (b+x)\cdot (c+x) \end{eqnarray*}$

Da wird das schon schwieriger. Am besten erstmal ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} V\ =\ x^3 \ +\ (a+b+c)\cdot x^2\ +\ (ab+bc+ac)\cdot x\ +\ abc \end{eqnarray*}$

Dafür gibts schon ne Formel (Cardanische Formeln), die allerdings hierfür sehr sehr kompliziert wird. Du brauchst auch komplexe Zahlen. Hier sind die mal:

$\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(q/2)^2\ +\ (p/3)^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot {2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}\ +\ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}}\ +\ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(q/2)^2+(p/3)^3}} \end{eqnarray*}$

Dabei ist:

$\begin{eqnarray*} p=((ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)^2}{3})\ \ ;\ \ q=(\frac{2(a+b+c)^3}{27}-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{3}+abc) \end{eqnarray*}$

Ich denke nicht, dass du damit arbeiten möchtest, eine andere Lösung kenn ich aber nich.

07.08.2004, 19:25

maf1973

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RE: auflösen nach x
danke nochmal, hatte eigentlich schon vorher geantwortet ist aber was schiefgelaufen.hab es damit schon versucht aber bisher nicht brauchbares herausbekommen. muß mich irgendwo verrechnen. außerdem bekomme ich für p etwas negatives, so dass ich eine negative zahl unter der wurzel habe. mit komplexen zahlen muss ich ja nicht rechnen da ich etwas rationales herausbekommen muss.

07.08.2004, 19:48

Mathespezialschüler

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RE: auflösen nach x

Zitat:

Original von maf1973
p etwas negatives, so dass ich eine negative zahl unter der wurzel habe. mit komplexen zahlen muss ich ja nicht rechnen da ich etwas rationales herausbekommen muss.

Wenn du etwas negaties rausbekommst, dann brauchst du somit komplexe Zahlen. Wenn du da komplexe Zahlen mit drin hast, dann kann auch eine reelle Zahl rauskommen, da sich die komplexen dann aufheben. 1 Reelle ist auf jeden Fall dabei!!

07.08.2004, 20:35

therisen

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Hier nochmal alle Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 1/6\,\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}-6\,{\frac {1/9\,ab+1/9\,ac+1/9\,bc-1/9\,{a}^{2}-1/9\,{b}^{2}-1/9\,{c}^{2}}{\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}}}-1/3\,a-1/3\,b-1/3\,c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=-1/12\,\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}+3\,{\frac {1/9\,ab+1/9\,ac+1/9\,bc-1/9\,{a}^{2}-1/9\,{b}^{2}-1/9\,{c}^{2}}{\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}}}-1/3\,a-1/3\,b-1/3\,c+1/2\,i\sqrt {3} \left( 1/6\,\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}+6\,{\frac {1/9\,ab+1/9\,ac+1/9\,bc-1/9\,{a}^{2}-1/9\,{b}^{2}-1/9\,{c}^{2}}{\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}}} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=-1/12\,\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}+3\,{\frac {1/9\,ab+1/9\,ac+1/9\,bc-1/9\,{a}^{2}-1/9\,{b}^{2}-1/9\,{c}^{2}}{\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}}}-1/3\,a-1/3\,b-1/3\,c-1/2\,i\sqrt {3} \left( 1/6\,\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}+6\,{\frac {1/9\,ab+1/9\,ac+1/9\,bc-1/9\,{a}^{2}-1/9\,{b}^{2}-1/9\,{c}^{2}}{\sqrt [3]{12\,{a}^{2}b+12\,a{b}^{2}-48\,abc+12\,{a}^{2}c+12\,a{c}^{2}+12\,{b}^{2}c+12\,b{c}^{2}+108\,V-8\,{a}^{3}-8\,{b}^{3}-8\,{c}^{3}+12\,\sqrt {6\,{a}^{4}bc-6\,{a}^{3}b{c}^{2}-72\,abcV-6\,{a}^{2}b{c}^{3}-6\,a{b}^{3}{c}^{2}+6\,a{b}^{4}c-6\,a{b}^{2}{c}^{3}+6\,ab{c}^{4}-6\,{a}^{3}c{b}^{2}-6\,{a}^{2}c{b}^{3}+6\,{a}^{3}{b}^{3}-3\,{a}^{4}{b}^{2}-3\,{a}^{2}{b}^{4}-3\,{a}^{4}{c}^{2}-3\,{a}^{2}{c}^{4}+6\,{b}^{3}{c}^{3}-3\,{b}^{4}{c}^{2}+6\,{a}^{3}{c}^{3}+18\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}+18\,{a}^{2}bV+18\,a{b}^{2}V+18\,{a}^{2}cV+18\,a{c}^{2}V+18\,{b}^{2}cV+18\,b{c}^{2}V-3\,{b}^{2}{c}^{4}+81\,{V}^{2}-12\,V{a}^{3}-12\,V{b}^{3}-12\,V{c}^{3}}}}} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt: Einsetzen 8)

Gruß, therisen

07.08.2004, 20:50

Mathespezialschüler

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Ich hab ja gesagt, damit möcht man nich rechnen :P

@therisen
Musste das sein :P Übrigens werden die letzten beiden Lösungen nicht angezeigt. Augenzwinkern

08.08.2004, 17:10

therisen

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Hehe, das musste in so fern sein, dass ich mal das modifizierte Latex auf dem Webserver richtig fordern wollte Big Laugh

Wie man sieht, ist das Resultat noch optimierbar, d.h. die Dateigröße der jeweiligen Formel beträgt teilweise über 400kb. Bisschen groß für ISDN/Modem-User.

Bei mir werden alle Formeln richtig angezeigt, du brauchst nur ein wenig Geduld, wenn du eine langsamere Verbindung haben solltest.

Gruß, therisen

08.08.2004, 18:16

Mathespezialschüler

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Ich hab eigentlich T-DSL verwirrt

08.08.2004, 18:30

ChrisM

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Hast du den Internet Explorer? Der scheints nämlich tatsächlich aus irgendwelchen Gründen nicht anzeigen zu können(Rechtsklick->bild anzeigen hilft da auch nicht). Mit dem Opera funktionierts bestens.

08.08.2004, 18:39

Mathespezialschüler

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Ja, hab ich. Was ist denn Internet Explorer (welche Funktion) und was gibts da noch für andere "Programme"?

08.08.2004, 19:51

therisen

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OK, eine Erklärung für Laien: "Internet Explorer ist das Programm, mit dem du Seiten wie z.B. das Mathe-Board anzeigst". Ich benutze Firefox, welcher imho um Klassen besser ist.

Gruß, therisen

PS: Das ist mein 200. Beitrag Big Laugh

08.08.2004, 21:43

Ben Sisko

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Von mir auch ne Empfehlung für den Firefox :-)

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