Fourier-Koeffizienten

30.10.2013, 22:38

jjjjim

Fourier-Koeffizienten

Hallo,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten der folgenden auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ definierten und mit $\begin{eqnarray*} f(x+2k\pi)=f(x),k\in Z \end{eqnarray*}$ periodisch fortgesetzten Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=xcosx \end{eqnarray*}$

Idee keine unglücklich

31.10.2013, 08:38

klarsoweit

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RE: Fourier-Koeffizienten
Wo ist denn jetzt das Problem? Wie die Fourier-Koeffizienten definiert sind, dürftest du vermutlich wissen.

31.10.2013, 17:48

mathe15965

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$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx=\frac{a_0}{2}*\int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx +\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n*\int_{-\pi}^\pi \! cos(nx) \, dx+b_n*\int_{-\pi}^\pi \! sin(nx) \, dx\right] \end{eqnarray*}$

Jetzt testen ob die Funktion gerade oder ungerade ist ?

$\begin{eqnarray*} -f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x*cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -f(x)=-(x)*(-1)*cosx=-x*(-1)*cosx=x*cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=(-x)*cos(-x)= ??? \end{eqnarray*}$

01.11.2013, 02:07

mathe15965

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So das Problem mit dem cos(-x) konnte ich in der Zwischenzeit auf dem Board lösen smile

$\begin{eqnarray*} -f(x)=-x*cosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-x)=(-x)*cos(-x)= -x*cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ --> Punktsymmetrie zum Ursprung --> Ungerade Funktion-->für alle n gilt $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx=\frac{a_0}{2}*\int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx +\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n*\int_{-\pi}^\pi \! cos(nx) \, dx+b_n*\int_{-\pi}^\pi \! sin(nx) \, dx\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n*\int_{-\pi}^\pi \! cos(nx) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx=\frac{a_0}{2}*\int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx +\sum\limits_{n=1}^\infty \left[0+b_n*\int_{-\pi}^\pi \! sin(nx) \, dx\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! sin(nx) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx=\frac{a_0}{2}*\int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Weiter weiß ich momentan nicht.

01.11.2013, 08:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe15965
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx=\frac{a_0}{2}*\int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx +\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n*\int_{-\pi}^\pi \! cos(nx) \, dx+b_n*\int_{-\pi}^\pi \! sin(nx) \, dx\right] \end{eqnarray*}$

1. Frage: was willst du mit dieser Gleichung sagen?
2. Frage: bist du der Threadersteller jjjjim?

01.11.2013, 11:13

mathe15965

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1. Frage: was willst du mit dieser Gleichung sagen?

Naja ich muss sagen das dass meine erste Aufgabe zu Fourierreihen ist (wollte einfach alles von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ integrieren scheint aber falsch zu sein).

Ich fang nochmal neu an.
So ich versuche jetzt einfach nach diesem Rezept vorzugehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe

Allgemeine Form:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_k*cos(kwx)+b_k*sin(kwx)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w=\frac{2\pi}{T}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_0}{2} +\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_k*cos(kx)+b_k*sin(kx)\right] \end{eqnarray*}$

1. Bestimmung von a0:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c+T}^c \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{c+T}^c \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{c+T}^c \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Falls das bis hier stimmt (ich hoffe es^^) weiß ich nicht was ich für f(x) einsetzen muss.

Ich verstehe nicht was hiermit gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} f(x+2k\pi)=f(x) \end{eqnarray*}$

und ich verstehe auch nicht ob ich für f(x):

$\begin{eqnarray*} f(x+2k\pi)=f(x) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x)=x*cosx \end{eqnarray*}$

einsetzen muss.

2. Frage: bist du der Threadersteller jjjjim?
Sorry hätte ich vielleicht mal sagen sollen. Ja ich bin jjjjim smile

01.11.2013, 11:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe15965
1. Bestimmung von a0:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c+T}^c \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2} = \frac{1}{T}\int_{c}^{c+T} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von mathe15965
Falls das bis hier stimmt (ich hoffe es^^) weiß ich nicht was ich für f(x) einsetzen muss.

Nimm für f(x) den Funktionsterm x * cos(x). smile

01.11.2013, 13:18

mathe15965

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$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \! x*cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi} *\int_{-\pi}^\pi \! x*cos(x) \, dx =\frac{1}{\pi}*(x*sinx+cosx)=\frac{1}{\pi}*(1,17-1,17)=0 \end{eqnarray*}$

2.Bestimmung von $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} b_k= \frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} \! f(x)*sin(kx) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k= \frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \! x*cos(x)*sin(kx) \, dx \end{eqnarray*}$

Kann man das auch einfach integrieren ?

01.11.2013, 16:08

mathe15965

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Ist das jetzt richtig oder bin ich auf dem Holzweg ?

01.11.2013, 18:42

mathe15965

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Über ein bisschen mehr Unterstützung würde ich mich freuen smile

Ich sitze jetzt hier schon seit Stunden und weiß nicht mehr weiter unglücklich

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