Volumenintegral über Ellipsoid

30.10.2013, 22:47	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral über Ellipsoid Hallo, folgende Aufgabe kann ich nicht lösen: Berechne $\begin{eqnarray} \iiint_K z~dxdydz \end{eqnarray}$ über die Hälfte $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ des Ellipsoids $\begin{eqnarray} ~\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}\leq 1, ~~ z\geq 0 \end{eqnarray}$ Ich würde das ganze jetzt erstmal transformieren, entweder in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten. Da das Ellipsoid eher aussieht wie eine Kugel, benutze ich Kugelkoordinaten (keine Ahnung, ob das sinnvoll ist). Da gilt $\begin{eqnarray} z=r~cos(\theta) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dxdydz=r^2~sin(\theta)drd\varphi d\theta \end{eqnarray}$ Folgt daraus: $\begin{eqnarray} \iiint_K z~dxdydz=\iiint_K r^3 cos(\theta)sin(\theta)drd\varphi d\theta \end{eqnarray}$ Falls das soweit richtig ist, folgt jetzt das gleiche Problem wie immer, wie bestimme ich die Grenzen? Ich weiß wie das Ellipsoid aussieht und mit $\begin{eqnarray} z\geq 0 \end{eqnarray}$ haben wir direkt die obere Hälfte (obere Hälfte vom Ei). Die Grenzen von $\begin{eqnarray} d\varphi \end{eqnarray}$ sind 0 und $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ , da es ein ganzer Kreis ist. Die Grenzen von $\begin{eqnarray} dr \end{eqnarray}$ könnten 0 und 1 sein. Von $\begin{eqnarray} d\theta \end{eqnarray}$ muss es irgendwie die Hälfte sein, vielleicht 0 und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ? Angenommen das stimmt , gäbe es das Problem, dass ich bis hierhin die Nenner von K komplett ignoriert habe. So das waren meine Gedanken zu der Aufgabe. Bin über jeden Hinweis/Korrektur dankbar. Grüße Xbf Edit: Folgende Parametersierung habe ich grad noch gefunden, was mir sehr hilfreich erscheint: $\begin{eqnarray} x=3 sin(u) cos(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= 2 sin(u) sin(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z= 4 cos(u) \end{eqnarray}$ Allerdings kann ich davon keine Jacobi-Matrix berechnen, um das Integral zu berechnen. Ich denke nicht, dass das hier stimmt: $\begin{eqnarray} \int_{-\pi}^{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}4\cdot cos(u)dudv=8\pi \end{eqnarray}$
31.10.2013, 10:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann schon deshalb nicht stimmen, weil die dritte Variable fehlt. Wir integrieren ja im dreidimensionalen Raum. Mit der Substitution $\begin{eqnarray} x = 3r \cdot \sin u \cdot \cos t \, , \ y = 2r \cdot \sin u \cdot \sin t \, , \ z = 4r \cdot \cos u \end{eqnarray}$ für den Bereich $\begin{eqnarray} 0 \leq r \leq 1 \, , \ - \pi \leq t \leq \pi \, , \ 0 \leq u \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ sollte es funktionieren. Ich hätte es aber anders gemacht: Das Halbellipsoid $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} xyz \end{eqnarray}$ -Raumes entsteht aus der oberen Einheitshalbkugel $\begin{eqnarray} E: \, u^2 + v^2 + w^2 \leq 1 \, , \ \ w \geq 0 \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} uvw \end{eqnarray}$ -Raumes durch die lineare Transformation $\begin{eqnarray} \varphi: \, E \to K \, , \ \ (u,v,w) \mapsto (x,y,z) = \varphi(u,v,w) = \left( 3u,2v,4w \right) \end{eqnarray}$ Ersetze einfach $\begin{eqnarray} x,y,z \end{eqnarray}$ in der Bedingung für $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 3u,2v,4w \end{eqnarray}$ . Dann bekommst du sofort die Bedingung für $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Die Funktionalmatrix von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist eine Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray} 3,2,4 \end{eqnarray}$ als Diagonalelementen, also ist $\begin{eqnarray} 24 \end{eqnarray}$ die Funktionaldeterminante, und somit gilt: $\begin{eqnarray} \int_K z ~ \dd (x,y,z) = 96 \int_E w ~ \dd (u,v,w) \end{eqnarray}$ Dieses Integral läßt sich jetzt leicht mittels Kugelkoordinaten berechnen. Zur Übung solltest du die Rechnung durchführen. Man braucht aber nicht immer bei Adam und Eva anfangen, sondern kann auch so argumentieren: Damit die Bedingung für $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ erfüllt werden kann, muß $\begin{eqnarray} 0 \leq w \leq 1 \end{eqnarray}$ gelten (daß $\begin{eqnarray} w \geq 0 \end{eqnarray}$ sein muß, steht ja direkt da, und wäre $\begin{eqnarray} w > 1 \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} u^2 + v^2 + w^2 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} > 1 \end{eqnarray}$ , was nicht geht, also muß $\begin{eqnarray} w \leq 1 \end{eqnarray}$ sein; natürlich entnimmt man dies auch sofort der Halbkugelform). Nach Fubini können wir also außen mit der Integration über $\begin{eqnarray} w \in [0,1] \end{eqnarray}$ anfangen. Bei fest gedachtem $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ist dann innen über alle $\begin{eqnarray} (u,v) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u^2 + v^2 \leq 1 - w^2 \end{eqnarray}$ zu integrieren. In der $\begin{eqnarray} uv \end{eqnarray}$ -Ebene ist das aber gerade ein Kreis vom Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{1-w^2} \end{eqnarray}$ , er hat somit den Inhalt $\begin{eqnarray} \pi (1-w^2) \end{eqnarray}$ . Und jetzt alles zusammenfassen: $\begin{eqnarray} \int_K z ~ \dd (x,y,z) = 96 \int_E w ~ \dd (u,v,w) = 96 \int \limits_0^1 \left( \ \int \limits_{u^2 + v^2 \leq 1-w^2} w ~ \dd (u,v) \right) ~ \dd w \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 96 \int \limits_0^1 w \cdot\left( \ \int \limits_{u^2 + v^2 \leq 1-w^2} \dd (u,v) \right) ~ \dd w = 96 \int \limits_0^1 w \cdot \pi (1-w^2) ~ \dd w \end{eqnarray}$
31.10.2013, 15:14	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Leopold Ich habe alles verstanden bis auf eine Sache, die auch die wichtigste ist. Wie kommst du auf diese Transformation: $\begin{eqnarray} \varphi: \, E \to K \, , \ \ (u,v,w) \mapsto (x,y,z) = \varphi(u,v,w) = \left( 3u,2v,4w \right) \end{eqnarray}$ ? Warum z.B. $\begin{eqnarray} 3\cdot u \end{eqnarray}$ ? Bei der ersten Variante wird es auch so gemacht, aber ich vertsehe nicht wie aus einem Bruch auf einmal eine Multiplikation wird.
31.10.2013, 16:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deshalb, damit sich beim Transformieren die Einheitskugelformel ergibt: $\begin{eqnarray} \left( \frac{x}{3} \right)^2 + \left( \frac{y}{2} \right)^2 + \left( \frac{z}{4} \right)^2 \leq 1 \ \wedge \ z \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \frac{3u}{3} \right)^2 + \left( \frac{2v}{2} \right)^2 + \left( \frac{4w}{4} \right)^2 \leq 1 \ \wedge \ 4w \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ u^2 + v^2 + w^2 \leq 1 \ \wedge \ w \geq 0 \end{eqnarray}$ Diese Umformung zeigt, daß, wenn im $\begin{eqnarray} uvw \end{eqnarray}$ -Raum ein Punkt der oberen Einheitshalbkugel $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ angehört, der transformierte Punkte im $\begin{eqnarray} xyz \end{eqnarray}$ -Raum dem oberen Halbellipsoid $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ angehört. Die Beziehung ist eineindeutig. Und genau so braucht man es für die Substitutionsregel.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »