Fermat-Zahl ist kein Produkt zweier Mersenne-Zahlen!

30.10.2013, 22:56	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Fermat-Zahl ist kein Produkt zweier Mersenne-Zahlen! $\begin{eqnarray} F_n= 2^{2^n} +1, \quad M_n=2^n-1. \mbox{ Es gilt: Die Dezimaldarstellung einer Fermatzahl } F_n, n >1, \mbox{ hat stets eine 7 als letzte Stelle.} \\<br /> \mbox{Z.z.: } M_x M_y = F_z, \quad x, y ,z \in \mathbb{N}, \mbox{ hat keine Lösung.}<br /> \end{eqnarray}$ Irgendwie finde ich keinen sinnvollen Ansatz. Kann mir jemand einen Tipp geben? Da ich in dem vorigen Aufgabenteil gezeigt habe, dass es für n> 1 ein ganzes q gibt, sodass $\begin{eqnarray} F_n=10q+7 \end{eqnarray}$ , vermute ich, dass ich das hier benutzen kann.
01.11.2013, 10:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
So wirklich brauchst du das eigentlich nicht. Mache einfach den Ansatz $\begin{eqnarray} (2^x-1)(2^y-1)=2^{2^z}+1 \end{eqnarray}$ . Multipliziere aus und vergleiche die Primfaktoren auf beiden Seiten. Das ergibt eigentlich direkt einen Widerspruch.

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