Fermats "Harte Nuss"

Neue Frage »

Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »
Fermats "Harte Nuss"
Meine Frage:

Unter der Bezeichnung "Fermats 'harte Nuss'" liegt folgende Aufgabe vor.

Gegeben ist ein Rechteck ABCD, (AB oben liegend) dem auf die Seite AB ein Halbkreis aufgesetzt wurde. Ein beliebiger Punkt der Peripherie des Halbkreises E wird mit den Eckpunkten C und D verbunden. Die Strecken CE und DE schneiden die Seite AB in den Punkten X und Y. Zu beweisen ist, dass nun gilt:

AY² + BX² =AB²

unter der Voraussetzung dass



gilt.

Vielleicht hat jemand einen Hinweis, wie man dieses Problem angeht.



Meine Ideen:
Meine Versuche, mit Hilfe der Strahlensätze hier etwas zu erreichen, sind leider alle ins Leere gelaufen.
ich wäre für einen Lösungshinweis dankbar.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Pythagoras + Strahlensatz kann man das ganz gut "totrechnen". Eine elegantere Variante wäre natürlich wünschenswert. verwirrt

[attach]31940[/attach]

Erstmal einige Hilfspunkte benennen:

sei der o.g. Peripheriepunkt auf dem Halbkreis, der Mittelpunkt der Strecke sowie der Lotfußpunkt von auf .

Zudem seien die Strecken und benannt, sowie der Halbkreisradius mit . Dann ist.

.

Dann ist nach Strahlensatz





Analog folgt

.

Nun die genannte Quadratsumme aufstellen:

.

Im Zähler eingesetzt und vereinfacht ergibt sich die Behauptung.
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz herzlichen Dank für deine Bemühungen und Erläuterungen! Ich habe versucht, mit dem Strahlensatz allein zum Ziel zu gelangen, was mißlang. Mit Hilfe deiner Erklärung kann ich den Lösungsgang sehr gut nachvollziehen. Eine elegantere Variante wäre wünschenswert, aber mir reicht dein Vorschlag vollkommen aus.
Eine Frage dazu hätte ich noch: Ich bewundere deine exakte Zeichnung. Darfst du mitteilen, mit welchem Programm, man so schöne Skizzen anfertigen kann, oder muss das geheim bleiben? Ich habe meine Skizze mit "Paint" zusammengeschustert.
Nochmals vielen Dank!

Mathegreis
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathegreis
Darfst du mitteilen, mit welchem Programm, man so schöne Skizzen anfertigen kann, oder muss das geheim bleiben?

Das ist kein Geheimnis: http://www.dynageo.de/
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Das werde ich gleich ausprobieren.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »