Injektive Abbildungen

31.10.2013, 15:39

Fleischtasche

Injektive Abbildungen

Aufgabe:

Seine $\begin{eqnarray*} n\geq 1,m\geq 1 \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen. Sei $\begin{eqnarray*} A=\left\{1,2,...,n\right\}, B=\left\{1,2,...,m\right\} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ eine injektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ genau dann,

wenn $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee:

Also ich muss erstmal sagen, wenn es eine injektive Abbildung gibt, dann ist $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ .

Das ist auch relativ logisch, da f injektiv ist, wird jedem Element aus A, ein eindeutiges Element aus B zugeordnet.
Damit man überhaupt eine Abbildung hat, muss die Mächtigkeit von A größer gleich der Mächtigkeit von B sein.
Also muss $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ .

Ich weiss nur nicht, wie ich das konkret angeben soll.

Für die rückrichtung kann ich doch einfach eine konkrete Abbildung angeben, also sagen wenn $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ , dann ist f(x):=x² eine injektive Abbildung.

Kann mir jemand weiter helfen ?
Mfg. Fleischtasche

31.10.2013, 16:14

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Injektive Abbildungen

Zitat:

Original von Fleischtasche
...
Damit man überhaupt eine Abbildung hat, muss die Mächtigkeit von A größer gleich der Mächtigkeit von B sein.
Also muss $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ .
...

Verstehe ich nicht. Warum muss $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ gelten, wenn # $\begin{eqnarray*} (A) \geq \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (B) \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Was passiert denn in diesem Beispiel mit der Injektivität, wenn A wirklich größer als B wäre?

31.10.2013, 16:24

Fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste ich zwei Elementen aus A, ein und das selbe $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ zuordnen.

31.10.2013, 17:30

Fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Injektivität würde verloren gehen

31.10.2013, 18:12

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Injektive Abbildungen
Genau, und zeigen kannst du das mit der Definition der Injektivität bzw. Linkseindeutigkeit.
Aus der Gleichheit der Funktionswerten aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ muss die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten Werte aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ folgen.

Nebenbei:

Zitat:

Original von Fleischtasche
...
Damit man überhaupt eine Abbildung hat, muss die Mächtigkeit von A größer gleich der Mächtigkeit von B sein.
...

Gilt das wirklich für jede Abbildung?

31.10.2013, 18:45

Fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Genau, und zeigen kannst du das mit der Definition der Injektivität bzw. Linkseindeutigkeit.
Aus der Gleichheit der Funktionswerten aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ muss die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten Werte aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ folgen.

Okay, ich werds mal probieren.

Zitat:

Gilt das wirklich für jede Abbildung?

Mir fällt grade auf, dass ich eigentlich kleiner gleich schreiben wollte, aber das tut ja nix zur Sache.

Also wenn die Mächtigkeit von A, größer ist als die Mächtigkeit von B, so kann die Funktion auf keinen Fall injektiv sein. Solange die Funktion nicht Injektiv sein soll, kann aber die Mächtikeit von A durchaus größer sein, als die Mächtigkeit von B.

Dazu kann man z.B. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R_{+} \end{eqnarray*}$ anführen mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir hier wieder die Linke Seite mit A bennen, und die Rechte mit B, dann gilt ja offensichtlich $\begin{eqnarray*} A>B \end{eqnarray*}$ wir haben aber eine Abbildung, sie ist nur nicht Injektiv, da z.B. $\begin{eqnarray*} f(-2)=f(2) \end{eqnarray*}$ gitl.

Gilt umgekehrt, $\begin{eqnarray*} A\leq B \end{eqnarray*}$ nur dann kann die Funktion Injektiv sein.

31.10.2013, 18:56

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fleischtasche
...
Solange die Funktion nicht Injektiv sein soll, kann aber die Mächtigkeit von A durchaus größer sein, als die Mächtigkeit von B.
...

Das entscheidende Wort ist kann, und nicht wie oben geschrieben muss. Augenzwinkern

31.10.2013, 19:02

Fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bislang würde ich das ganze so machen.

Sei $\begin{eqnarray*} f: A\to B \end{eqnarray*}$ eine Injektive Abbildung. Dann gibt es eine Umkerhabbildung $\begin{eqnarray*} f^-1: B\to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^-1(y)=x \end{eqnarray*}$ .
Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ .

Somit gilt folglich $\begin{eqnarray*} n \leq m \end{eqnarray*}$

Für die Rückrichtung würde ich mir dann konkret eine Abbildung vorgeben, da ich ja nur zeigen muss, es gibt mindestens eine Injektive Abbildung.

Also würde ich sagen, sei n=2, m=3. Dann ist A:={1,2} und B:={1,2,3}.
Dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:A\to B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ , wegen f(1)=1 und f(2)=2, injektiv. Also gibt es mindestens eine Injektive Abbildung.

31.10.2013, 19:05

Fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne die Ausdrucksweise stimmt noch nicht ganz.

Zitat:

Also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$

Stimmt so in der regel ja nur, wenn die Funktion aus surjektiv ist

31.10.2013, 19:08

fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre genau andersherum.

Also gibts zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ ,

denn $\begin{eqnarray*} f^-1(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y \end{eqnarray*}$

31.10.2013, 19:25

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Komplettlösungen dürfen nicht gepostet werden.
Aber ich glaube, du machst dir grad mehr Arbeit als notwendig.

Nehme doch das Gegenteil an, also mindestens # $\begin{eqnarray*} (A) = \end{eqnarray*}$ # $\begin{eqnarray*} (B)+1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n=m+1 \end{eqnarray*}$ damit $\begin{eqnarray*} A > B \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann muss es ein $\begin{eqnarray*} b_i \in B \end{eqnarray*}$ geben, für das gilt ...
Und wie verträgt sich das mit der Linkseindeutigkeit? Augenzwinkern

******************

Zitat:

Original von Fleischtasche
Dann müsste ich zwei Elementen aus A, ein und das selbe $\begin{eqnarray*} y\in B \end{eqnarray*}$ zuordnen.

Du hast doch den richtigen Ansatz um 16.24 Uhr schon längst gepostet!
Das einfach noch ein bischen aussagenlogisch formulieren und fertig. Augenzwinkern

Edit: Doppelpost zusammengefügt. Bitte nutze die Editierfunktion! LG Iorek

31.10.2013, 19:47

fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du hast doch den richtigen Ansatz um 16.24 Uhr schon längst gepostet!
Das einfach noch ein bischen aussagenlogisch formulieren und fertig. Augenzwinkern

Mh ja, das fällt mir grade nur nicht ganz so leicht.

Also angenommen, es gilt n>m, also n:=m+1. Dann gilt A>B. Für $\begin{eqnarray*} x_i\in A \end{eqnarray*}$ gibt es dann ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)=b \end{eqnarray*}$ im Wiederspruch zu f ist injekt.
Also muss $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ gelten

31.10.2013, 19:56

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fleischtasche
...
Also angenommen, es gilt n>m, also n:=m+1. Dann gilt A>B. Für $\begin{eqnarray*} x_i\in A \end{eqnarray*}$ gibt es dann ein $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)=b \end{eqnarray*}$ im Wiederspruch zu f ist injekt.
Also muss $\begin{eqnarray*} n\leq m \end{eqnarray*}$ gelten

Klingt für mich ganz ok. Und gib dann noch die Def. von Injektivität mit an.
Und ich würde Indizes nehmen, also:

... Für $\begin{eqnarray*} x_i, x_j\in A \end{eqnarray*}$ gibt es dann ein $\begin{eqnarray*} b_k\in B \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x_i)=f(x_j)=b_k \end{eqnarray*}$ im Wiederspruch zu $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injekt. ...

31.10.2013, 19:59

fleischtasche

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen dank,

mfg. Fleischtasche Wink

31.10.2013, 20:03

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne geschehen. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Injektive Abbildungen

Verwandte Themen