|a(n)| eine Nullfolge, dann auch a(n) eine Nullfolge

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31.10.2013, 17:55	shevek	Auf diesen Beitrag antworten »
\|a(n)\| eine Nullfolge, dann auch a(n) eine Nullfolge Meine Frage: Die Aufgabe ist es, zu zeigen, das a(n), wobei n Element der natürlichen Zahlen eine Nullfolge ist, wenn der Betrag von a(n) eine Nullfolge ist. a element der reellen Zahlen. Meine Ideen: Ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch wie ich dies zeigen kann. Finde in der Vorlesungsmitschrift nur eine Bemerkung, dass "Allgemein gilt, a(n) ist eine Nullfolge <=> \|a(n)\| ist eine Nullfolge". Allerdings weiß ich nicht warum das so ist, und wie ich das erklären soll. Ich denke mir zwar, das der Betrag nichts am Konvergenzverhalten verändert kann, da die Folgenglieder, ob positiv oder negativ ja sowieso gegen 0 laufen.. aber wie zeigt man so etwas? Vielen Dank.
31.10.2013, 18:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib dir mal die Definitionen davon, dass \|a(n)\| bzw. a(n) eine Nullfolge ist untereinander und vergleiche.
31.10.2013, 18:22	shevek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die schnell Antwort. Beide Definitionen stehen in meiner Mitschrift schon untereinander. Der Unterschied der beiden Definitionen sind die Betragsstriche um a(n). Ich weiß leider nicht genau, was du mir damit sagen möchtest, ich stehe wie bereits erwähnt auf dem Schlauch
31.10.2013, 18:26	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du beide Definitionen mal hier hinschreiben ?
31.10.2013, 18:37	shevek	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar, stehen aber auch ungefähr im 1. Post. Bem.: $\begin{eqnarray} (a_{n}) n\in ~\mathbb N \end{eqnarray}$ heißt Nullfolge $\begin{eqnarray} \leftrightarrow (a_{n}) \longrightarrow 0 \end{eqnarray}$ Allgemein gilt, $\begin{eqnarray} (a_{n}) n\in ~\mathbb N \end{eqnarray}$ ist Nullfolge $\begin{eqnarray} \leftrightarrow (\|a_{n}\|)n\in ~\mathbb N \end{eqnarray}$ ist Nullfolge Das ist allerdings nur ein Fakt, eine Begründung lässt sich daraus nicht herleiten, und ich finde auch nichts dementsprechendes davor oder dahinter.
31.10.2013, 18:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ne so war das nicht gemeint. Ihr habt definiert, was es heißt wenn eine Folge gegen einen Grenzwert a konvergiert. (Epsilon, n0 und so). Jetzt setzt du für a Null ein und schreibst dir das für die Folge und den Betrag der Folge untereinander.
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31.10.2013, 19:02	shevek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe das ist die korrekte Definition und ich habe alles richtig gemacht. Habe 0 für a angegeben, und das 2. mal das a(n) durch den Betrag vertauscht. Betrag von Betrag erscheint mir aber höchst seltsam. Bitte verzeih mir, wenn ich mich doof anstelle. $\begin{eqnarray} \forall \epsilon \exists N \in ~\mathbb N \|a_{n} - 0 \| < \epsilon \forall n ~\geq ~\mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \epsilon \exists N \in ~\mathbb N \|\|a_{n}\| - 0 \| < \epsilon \forall n ~\geq ~\mathbb N \end{eqnarray}$
31.10.2013, 19:22	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist ok so(bis auf Reihenfolge, aber das ist für unseren Zweck gerade nicht so dramatisch. Du kannst jetzt doch die beiden Ausdrücke, die da stehen vereinfachen. Die 0 fällt weg und 2 mal den Betrag anwenden ist das gleiche wie einmal. Edit: da muss natürlich $\begin{eqnarray} \forall n\geq N \end{eqnarray}$ stehen.
31.10.2013, 19:42	shevek	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das heißt, die beiden Definitionen hinschreiben (und vereinfachen) wäre die Antwort auf die Aufgabe? Nun, ich kann nicht sagen das mich das überrascht. Ich gehöre zu der Sorte Leute die sich Dinge gern kompliziert machen. Bezüglich des Ausdrucks hast du natürlich vollkommen Recht, ich schreibe so oft die Menge N auf, das ich den normalen Buchstaben (hier der Index) schon nicht mehr erkenne. Vielen Dank für diesen Denkanstoß, hab noch einen schönen Abend.

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