Erwartungswert Abschätzung

31.10.2013, 20:50	Spark22	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Abschätzung Hallo zusammen. Ich habe noch nicht so viele Fragen in diesen Foren gestellt, weshalb ich um Nachsehen bitte, falls meine Fragen ein bißchen komisch wirken oder meine Formeln undeutlich sind. Ich habe in dem Modul Wahrscheinlichkeitstheorie momentan folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,A,P) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei $\begin{eqnarray} X: \Omega \to [0,\infty) \end{eqnarray}$ eine nicht-negative Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray} 0 < \mathbb{E}(X^2) < \infty \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie die Abschätzung: $\begin{eqnarray} P(X>0)>=(\mathbb{E}(X))^2/\mathbb{E}(X^2) \end{eqnarray}$ Mein erster Ansatz war die Jensen-Ungleichung $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(h(X))>= h(\mathbb{E}(X)) \end{eqnarray}$ mit der konvexen Funktion $\begin{eqnarray} h(X) = X^2 \end{eqnarray}$ . Allerdings komme ich dann auf auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} 1 >=(\mathbb{E}(X))^2/\mathbb{E}(X^2 \end{eqnarray}$ was ja nicht wichtig ist, da $\begin{eqnarray} P(X>0) \end{eqnarray}$ kleiner als 1 sein kann. Ich weiß leider nicht weiter und die Zeit drängt. Es wäre schön wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte. Vielen Dank
31.10.2013, 21:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung $\begin{eqnarray} (E(XY))^2 \leq E(X^2)\cdot E(Y^2) \end{eqnarray}$ ist bekannt? Dann nutze sie einfach mit der Indikatorfunktion $\begin{eqnarray} Y= 1_{[X>0]} \end{eqnarray}$ .
31.10.2013, 21:49	Spark22	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey! Ja die Ungleichung habe ich mit auch angeschaut. Aber irgendwie stehe ich da voll auf dem Schlauch. Ich hatte mit den Erwartungswert schon mal folgendermaßen hingeschrieben: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X) = \int \! X \, \mathrm{d}P = \int \! X \, 1_{[X>0]} \mathrm{d}P \end{eqnarray}$ Aber ich bin so unsicher mit dem abschätzen. Ich habe da leider noch keine Erfahrung.
31.10.2013, 21:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß jetzt nicht, wo es noch klemmt: Es ist $\begin{eqnarray} E(1_{[X>0]}^2) = E(1_{[X>0]}) = P(X>0) \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} X(\omega)\cdot 1_{[X(\omega)>0]} = X(\omega) \end{eqnarray}$ kann man sich getrennt nach Fällen $\begin{eqnarray} X(\omega)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X(\omega)>0 \end{eqnarray}$ klarmachen, d.h. es ist $\begin{eqnarray} X\cdot 1_{[X>0]} = X \end{eqnarray}$ . Mehr gibt es dann eigentlich nicht mehr zu sagen zum Beweis.
31.10.2013, 22:10	Spark22	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh mein Gott!!!! Das heißt ich hätte einfach schreiben können: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(XY) = \int\! X 1_{[x>0]} \, \mathrm{d}P \end{eqnarray}$ und dementsprechend: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X 1_{[x>0]}) <= \sqrt{\mathbb{E}(X^2)} \sqrt{1_{[x>0]}^2} \end{eqnarray}$ ???
31.10.2013, 22:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlt ein Erwartungswertoperator unter der Wurzel ganz rechts, aber ansonsten ist es Ok.
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31.10.2013, 22:16	Spark22	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar. Hab ich wohl vor lauter Schreck vergessen. Danke. Ich hätte noch eine Aufgabe an der ich knabbere. Kann ich dir hier direkt hinschreiben, oder muss ich ein neues Thema eröffnen?

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