Existenz eines Erwartungswerts

31.10.2013, 23:13	Spark22	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz eines Erwartungswerts Hallo noch einmal. Nachdem mir eben auf grandiose Art und Weise demonstriert wurde wie blind ich manchmal bin, möchte ich mich mit meinem nächsten Problem an euch wenden. Ich habe den Ansatz einer Lösung, weiß aber halt nicht ob die in die richtige Richtung geht. Zunächst die Aufgabe. Sei $\begin{eqnarray} (\Omega,A,P) \end{eqnarray}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray} X: \Omega \to [0,\infty) \end{eqnarray}$ eine nicht-negative Zufallsvariable. Zu zeigen ist dann: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X) < \infty \iff \sum_{ n=1 }^{ \infty }{ P(X \geq n) } < \infty \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war es dann mit die Summe mal anzugucken. Formal steht da ja: $\begin{eqnarray} P(X\geq1)+P(X\geq2)+... \end{eqnarray}$ Das habe ich mir dann umgeschrieben in: $\begin{eqnarray} \sum_{ n=1 }^{ \infty } {\sum_{ k=n }^{ \infty }{ P(k \leq X \leq k+1) }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{ k=1 }^{ \infty } {\sum_{n=1 }^{ k}{ P(k \leq X \leq k+1) }} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{ k=1 }^{ \infty } {k \cdot P(k \leq X \leq k+1) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{ k=1 }^{ \infty } {k \cdot \mathbb{E}( 1_{[k \leq X \leq k+1]}) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\mathbb{E}(\sum_{ k=1 }^{ \infty } {k \cdot 1_{[k \leq X \leq k+1]}}) \end{eqnarray}$ Die Frage ist jetzt, ob ich einfach schreiben darf: $\begin{eqnarray} \leq \mathbb{E}(\sum_{ k=1 }^{ \infty } {X \cdot 1_{[k \leq X \leq k+1]}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\mathbb{E}(X) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \mathbb{E}(\sum_{ k=1 }^{ \infty } {(k+1) \cdot 1_{[k \leq X \leq k+1]}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum_{ k=1 }^{ \infty } {(k+1) \cdot \mathbb{E}( 1_{[k \leq X \leq k+1]}) } \end{eqnarray}$ Und es wäre auch interessant, ob das überhaupt in die richtige Richtung geht. Denn meine Idee war es, aus der Beschränkung auf die Beschränkung der Summe zu schließen und umgekehrt. Bitte um Hilfe!!! Danke
01.11.2013, 00:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt von der Idee her. In aller Kürze könnte man es für derartige nichtnegative Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ so zusammenfassen: Aus $\begin{eqnarray} \lfloor X\rfloor \leq X < \lfloor X\rfloor+1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} E(\lfloor X\rfloor) \leq E(X) \leq 1+E(\lfloor X\rfloor) \end{eqnarray}$ , wobei man $\begin{eqnarray} E(\lfloor X\rfloor) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X\geq n) \end{eqnarray}$ nachweisen kann (was du ja de facto getan hast).

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