Reihe summieren

01.11.2013, 10:09

julibackgirl

Reihe summieren

Edit (mY+): Bitte KEINE Hilfeersuchen, schon gar nicht in der Überschrift. Außerdem ist der Titel nicht signifikant. Modifiziert

Meine Frage:
Könnt ihr mir einen einfachen Lösungsweg zu meiner Aufgabe geben?

Summe von i=-2 bis 3 (-3)^i*2^10-i

Ich komme immer wieder nur auf -21120/9 als Ergebnis

Vielen Dank schon mal smile

Meine Ideen:
Ich rechne die Summe normal aus. Fasse dann ein wenig zusammen. Sodass ich auf 2^12/3^2- 2^11/3+ 2^10- 3*2^9+ 9*2^8- 3^3*2^7,Dann rechne sie aus bzw. bringe sie alle auf /9.

Das Ergebnis soll nach dem Buch -17024/9 lauten.

01.11.2013, 10:25

jimmyt

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RE: Hilfe beim Summenzeichen
Kannst du bitte den Latex-Editor benutzen. Danke.
Meinst du das hier:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=-2}^3 (-3)^{i \cdot 2^{10-i}} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=-2}^3 ((-3)^i \cdot 2^{10-i}) \end{eqnarray*}$

oder etwas ganz anderes? smile

01.11.2013, 16:47

julibackgirl

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RE: Hilfe beim Summenzeichen
Hi, sry wusste das nicht Augenzwinkern

Das was du als 2tes geschrieben hast ist die Aufgabe.

01.11.2013, 22:45

mYthos

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Und wie lautet eigentlich dein Ergebnis (vom Ansatz her dürfte es stimmen).
Du kannst die Summe auch als Summe einer (endlichen) geometrischen Reihe bestimmen (b1 = ..., q = -3/2, n = 6; b1 ist das erste Glied)

mY+

01.11.2013, 23:45

jimmyt

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RE: Hilfe beim Summenzeichen
Ok, den Ansatz habe ich genauso.
Aber mein Ergebnis stimmt weder mit deinem Resultat, noch mit dem aus deinem Buch überein.
Ich kann mich aber auch verrechnet haben. Bei der Aufgabe kann man sich schnell vertun. smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=-2}^3 ((-3)^i \cdot 2^{10-i}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ((-3)^{(-2)} \cdot 2^{10-(-2)}) + ((-3)^{(-1)} \cdot 2^{10-(-1)}) + ((-3)^0 \cdot 2^{10-0}) + ((-3)^1 \cdot 2^{10-1}) + ((-3)^2 \cdot 2^{10-2}) + ((-3)^3 \cdot 2^{10-3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9} \cdot (-2^{11} - 2^{11} \cdot 3) + 2^{7} \cdot (8 - 12 +18 - 27) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{128 \cdot (-64 -117)}{9} = \frac{-23168}{9} \end{eqnarray*}$

Eine Idee wäre vlt. noch Indexverschiebung.
Aber poste bitte mal deinen ganzen Rechenweg.

@Mythos :
Interessante Idee. Eine Frage dazu: wie kommst du bei der geometrischen Reihe auf q = -3/2?

Zusatz:
Ich habe mir eben mal schnell ein kleines C#-Programm geschrieben, dass deine Summenformel ausrechnet.
Der Computer gibt $\begin{eqnarray*} -1.891, \overline{5} \end{eqnarray*}$ aus, was dem Ergebnis aus deinem Buch entspricht. Meine Berechnung ist also falsch! smile

03.11.2013, 12:31

julibackgirl

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RE: Hilfe beim Summenzeichen
[attach]31962[/attach]

Ich habe ein Foto gemacht von meinem Rechenweg, Fehler inklusive weil ich ständig was geändert habe um auf die tolle Lösung zu kommen Big Laugh

06.11.2013, 13:56

mYthos

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RE: Hilfe beim Summenzeichen

Zitat:

Original von jimmyt
...
@Mythos :
Interessante Idee. Eine Frage dazu: wie kommst du bei der geometrischen Reihe auf q = -3/2?
...

Das folgt aus $\begin{eqnarray*} (-3)^1 \cdot 2^{-1} \end{eqnarray*}$ als Resultat, wenn man den Index um 1 verschiebt.

@julibackgirl
Ein verdrehtes Bild und auch noch ein PDF ist nicht so gut. Du kannst die Grafik - ordentlich zum Ansehen - ohne Probleme auch als JPG an deinen Beitrag anhängen.
Hast du das Resultat nun richtig berechnen können?
_________

(Sorry, ich war 4 Tage krank ..)

mY+

08.11.2013, 19:15

jimmyt

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RE: Hilfe beim Summenzeichen

Zitat:

Original von mYthos
...
Das folgt aus $\begin{eqnarray*} (-3)^1 \cdot 2^{-1} \end{eqnarray*}$ als Resultat, wenn man den Index um 1 verschiebt.
...

Sorry, aber da stehe ich jetzt auf dem Schlauch.
Indexverschiebung um 1 ergibt bei mir:

(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{i=-2}^3 ((-3)^i \cdot 2^{10-i}) ~ \Longrightarrow ~ \sum_{i=-1}^4 ((-3)^{i-1} \cdot 2^{10-i-1}) \end{eqnarray*}$

Geometrische Reihe ist doch diese hier, oder etwa nicht?

(2) $\begin{eqnarray*} a_0\sum_{k=0}^{n} q^k ~ = ~ a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich von (1) auf (2)?
Ich sehe es nicht, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. smile

09.11.2013, 19:11

mYthos

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Der Unterschied bei deinem (1) und (2) ist jener, dass (1) das Bildungsgesetz der geometrischen Folge angibt, währenddessen (2) die Summenformel der Reihe ist.

Betrachte doch (1) genauer und schreibe (Potenzgesetze!)

$\begin{eqnarray*} (-3)^i \cdot 2^{10-i} = 2^{10} \cdot (-3)^i \cdot {\left(\frac 1 2\right)}^i = 2^{10} \cdot {\left(-\frac 3 2\right)}^i \end{eqnarray*}$
...

und da kannst du doch sicher den Quotienten schon erkennen, oder? Oder eben mittels Indexänderung um 1 ..
Hoffentlich hat sich der Wald jetzt gelichtet?

mY+

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