aus verschiedenen Kartons

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Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »
aus verschiedenen Kartons
Hallo,
folgende Aufgabenstellung:
Wir haben 3 Kartons mit folgendem Inhalt: Karton I enthält 6 ganze und 4 defekte Christbaumkugeln, Karton II enthält 5 ganze und 2 defekte Christbaumkugeln, Karton III enthält 6 ganze und 3 defekte Christbaumkugeln.

Aufgabe:
Wir bestimmen zufällig einen Karton und entnehmen zufällig eine Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel defekt ist?

In meiner Naivität hätte ich einfach folgendes gemacht:
Wenn ich alle 3 Kartons zusammengebe, habe ich insgesamt 26 Kugeln und davon sind 9 defekt.

Ich bekomme also: 9/26 raus.

Die Lösung ist allerdings: 107/315.

Darauf komm ich leider garnicht.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

So einfach geht das leider nicht. Einfaches Gegenbeispiel, um sich das klar zu machen: Du hast 2 Kartons (Nr. 1 und 2) mit jeweils 10 Kugeln (alle defekt) und einen Karton (Nr. 3) mit nur einer ganzen Kugel. Wenn man zufällig einen Karton auswählt, wählt man jeden Karton mit der Wahrscheinlichkeit 1/3. Wenn man aber den dritten Karton wählt, kann man daraus keine defekte Kugel entnehmen. D.h. um eine defekte Kugel entnehmen zu können, muss man Karton 1 oder 2 auswählen. Deswegen kann die Wahrscheinlichkeit, dass man eine defekte Kugel erhält, wenn man aus einem zufällige gewählten Karton zufällig eine Kugel entnimmt, höchstens 2/3 sein.
Wenn man das aber mit deiner Methode berechnet, hat man 20 defekte und 1 ganze Kugel, alles zusammen also eine Wahrscheinlichkeit von 20/21 für eine defekte Kugel. Das ist aber größer als 2/3. Also kann das nicht stimmen.



So, zurück zu deiner Aufgabe: Du könntest z.B ein Baumdiagramm machen, und dann daraus ganz einfach die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ablesen.
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.. der Hinweis, dass ich ja die Wahrscheinlichkeit der Kartons benötige, war ausreichend :-)

(Zwecks Vollständigkeit: )

Danke! Freude Wink
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Freude
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab aber gleich noch eine Frage verwirrt

Folgende Aufgabe:
Wir entnehmen zufällig eine 2.Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln defekt sind?

Naja, also die erste Defekte kenn ich ja:


Also ich hab einfach irgendwo eine defekte abgezogen und dann mit dem vorigen Wert multipliziert. Aber auch hier, vermutlich zu einfach gedacht unglücklich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wird die 2. Kugel aus demselben Karton wie die erste entnommen? Oder wird wieder zufällig ein Karton gewählt?
 
 
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Aufgabe genau so gepostet, wie sie in meinem Dokument steht.

Ich nehme mal an, dass wieder ein Karton gewählt wird, aber du hast nicht unrecht, es steht nicht dort.

wie würde ich das berechnen aus einem bestimmten Karton. Ich weiß ja nicht aus welchen und je nachdem sind meine Wahrscheinlichkeiten doch anders? smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Adramelec
Naja, also die erste Defekte kenn ich ja:


Welche Wahrscheinlichkeit soll das jetzt sein? Dafür dass man einen neuen Karton wählt, oder dass man aus dem gleichen Karton zieht?
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

das soll die wahrscheinlichkeit dafür sein, dass man wieder aus allen 3 wählen muss smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Man unterscheidet am besten in drei Fälle:
1. Fall: Die erste defekte Kugel wurde aus dem ersten Karton gezogen. D.h. im ersten Karton sind jetzt nur noch 3 defekte Kugeln, die anderen Kartons bleiben gleich. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass man aus diesen Kartons wieder eine defekte Kugel zieht? (Das berechnte man so ähnlcih wie am Anfang, du musst nur ein paar Zahlen verändern). Das ganze multipliziertst du dann mit der Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel aus dem ersten Karton gezigen wurde und defekt ist (das war )
Das ergibt dann die Wahrscheinlichkeit, dass man zwei defekte Kugeln zieht, wobei die erste aus Karton 1 gezogen wurde.

2. Fall: Die erste defekte Kugel wurde aus dem zweiten Karton gezogen.
3. Fall: Die erste defekte Kugel wurde aus dem dritten Karton gezogen.
Diese Fälle gehen genauso.


Zum Schluss dann alle drei Wahrscheinlichkeiten addieren.
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das hab ich leider nicht ganz verstanden.

1. Fall = die erste defekte Kugel wurde aus dem ersten Karton gezogen. Die Wahrscheinlichkeit wäre ja dann: 3/9.

2. Fall = die erste defekte Kugel wurde aus dem zweiten Karton gezogen. Für die 2. Kugel ists dann: 1/6

3. Fall = erste aus dem 3. Karton. Für die 2. ist die wahrscheinlichkeit: 2/8.

Diese dann addieren und mit der ersten wahrscheinlichkeit multiplizieren?

Lt. Lösungen kommt: 37/420 raus.. smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Adramelec
1. Fall = die erste defekte Kugel wurde aus dem ersten Karton gezogen. Die Wahrscheinlichkeit wäre ja dann: 3/9.

Welche Wahrscheinlichkeit ist 3/9?
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Naja für eine defekte Kugel aus dem ersten Karton bei einem zweiten Zug unter der Bedingung dass die erste defekte Kugel auch aus dem ersten Karton kam. smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber man kann doch beim zweiten Mal auch wieder aus dem zweiten oder dritten ziehen.

Also: Geh davon aus, dass beim ersten Zug eine defekte Kugel aus Karton 1 gezogen wurde.
Dann hast du im ersten Karton noch 3 defekte und 6 ganze Kugeln, die anderen Kartons bleiben so.

Jetzt wird wieder zufällig ein Karton ausgewählt und zufällig eine Kugel gezogen.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass man eine defekte Kugel zieht? (Das geht wie beim ersten Mal, bloß mit leicht veränderten Zahlen, weil sich ja Karton 1 verändert hat).
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Also das als komplette rechnung?


mein Gedanke dazu:

Alle 3 Fälle sind gültig, und da addiere ich die Wahrscheinlichkeit zusammen. Aber scheinbar ist das auch völlig daneben :-(

(sry, das ich mich so ungeschickt anstelle.. )
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Völlig daneben ist das nicht, das sieht sogar schon ganz gut aus. smile
Nur die Faktoren am Anfang der Zeilen sind falsch.

In der ersten Zeile steht ja der erste Fall, nämlich dass beim ersten Mal eine defekte Kugel aus Karton 1 gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist
Und diese Wahrscheinlichkeit muss da in der ersten Zeile stehen, nicht
Auch in den beiden nächsten Zeilen musst du dann noch die Faktoren ändern.
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »



Etwa so? smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal, das müsste so stimmen. Das kannst du jetzt noch ausrechnen.
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab 19/180 raus.

Laut Lösungen ist es aber 37/420. mhmm.. Vielleicht sind die Lösungen falsch?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann haben wir hier doch das falsche berechnet. ist nämlich die Wahrscheinlichkeit, wenn man die zweite Kugel aus demselben Karton zieht wie die erste.
Naja, kann ja nicht schaden, wenn wir ein bisschen mehr gemacht haben. Big Laugh

Weißt du, wie du auf die Wahrscheinlichkeit kommst?

ist übrigens richtig.
Adramelec Auf diesen Beitrag antworten »

Jepps, durch so viel Übung kam ich jetzt ganz von alleine drauf.

Puh, muss man aber auch wissen, dass das so gemeint ist Big Laugh

Danke! Wink
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne! smile
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