Vollstandige Induktion einer Ungleichung

01.11.2013, 14:11

GroovyChuc

Vollstandige Induktion einer Ungleichung

Meine Frage:
Hallo habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} (n+1)^n \leq n^{n+1} \end{eqnarray*}$
für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ gilt. Führen Sie dabei den Beweis von n - 1 nach n (und
nicht von n nach n + 1).
Hinweis: Benutzen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} n+1 = n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt

Meine Ideen:
Das Grundprinzip der Induktion habe ich bereits verstanden.

Also den Induktionsanfang hab ich auch noch geschafft:
$\begin{eqnarray*} (n=3) (3+1)^3 \leq 3^{3+1} 4^3 \leq 3^4 64 \leq 81 \checkmark \end{eqnarray*}$

So jetzt zum Induktionsschritt:

Die Annahme ist:
$\begin{eqnarray*} ((n-1)+1)^{n-1} \leq (n-1)^n \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter.
Ich komme generell nicht zu Recht damit, dass ich den Beweis von n-1 zu n und nicht von n zu n+1 führen soll.

Zudem weis ich nicht wie ich das $\begin{eqnarray*} n+1 = n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ zur Lösung verwenden soll.

Danke im Vorraus für jede Hilfe.

01.11.2013, 14:15

jimmyt

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Bitte Latex benutzen. Das ist doch nicht so schwer. Danke.
Gib mir ein paar Minuten, dann sage ich etwas dazu.

Ok, nehme das mit Latex zurück. smile

01.11.2013, 14:17

10001000Nick1

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RE: Vollstandige Induktion einer Ungleichung

Zitat:

Original von GroovyChuc
Hinweis: Benutzen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Was soll das denn bedeuten?

01.11.2013, 14:23

GroovyChuc

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RE: Vollstandige Induktion einer Ungleichung

Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von GroovyChuc
Hinweis: Benutzen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Was soll das denn bedeuten?

Der Code wurde grad nicht richtig erkannt.
Jetzt müsste alles Stimmen

01.11.2013, 14:23

HAL 9000

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@10001000Nick1 (offtopic)

Anscheinend bist du wie ich Firefox-Nutzer und siehst da ein

$\begin{eqnarray*} %13n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

Die Nutzer des Internet-Explorers (und vielleicht auch anderer Browser) sehen da ein ganz normales

$\begin{eqnarray*} n+1 = n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ .

Hab ich mich hier im Board auch schon öfters drüber gewundert - es gibt LaTeX-Quelltext-Konstellationen, wo sowas passiert. Augenzwinkern

01.11.2013, 14:50

jimmyt

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RE: Vollstandige Induktion einer Ungleichung

Zitat:

Original von GroovyChuc
...
Meine Ideen:
...
So jetzt zum Induktionsschritt:

Die Annahme ist:
$\begin{eqnarray*} ((n-1)+1)^{n-1} \leq (n-1)^n \end{eqnarray*}$

Hier komme ich nicht weiter.
Ich komme generell nicht zu Recht damit, dass ich den Beweis von n-1 zu n und nicht von n zu n+1 führen soll.

Zudem weis ich nicht wie ich das $\begin{eqnarray*} n+1 = n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ zur Lösung verwenden soll.

Danke im Vorraus für jede Hilfe.

Ok, habe es eben mal durchgerechnet. Es ist nicht gleich offensichtlich, aber absolut machbar.
Sorry nochmal wegen Latex, aber ich habe ein bischen schroff reagiert, weil das in den letzten Tagen öfters vorkam. Aber du hast es ja gut verbessert.

Zum Induktionsschritt:
Was hast du denn bisher?

Ich würde so anfangen: (n-1) -> n:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^n \stackrel{\text{Hinweis einsetzen}}{=} \dots \stackrel{\text{Potenzgesetz anwenden}}{=} \dots \stackrel{\text{Potenzgesetz anwenden}}{=} \dots \stackrel{\text{I.V. einsetzen}}{=} \dots \end{eqnarray*}$

Mit Hinweis meine ich das hier: $\begin{eqnarray*} n+1 = n(1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
Und die benötigten Potenzgesetze sind:

(1) $\begin{eqnarray*} (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} a^n = a^{n-1} \cdot a^1 \end{eqnarray*}$

Und die Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} ((n-1)+1)^{n-1} \leq (n-1)^n \end{eqnarray*}$ kannst du zu $\begin{eqnarray*} n^{n-1} \leq (n-1)^n \end{eqnarray*}$ vereinfachen.

01.11.2013, 17:02

GroovyChuc

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Ok also ich bin jetzt glaub ich fast da:

Annahme: $\begin{eqnarray*} n^{n-1} \leq (n-1)^n \end{eqnarray*}$
zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (n+1)^n \leq n^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^n = (n(1+\frac{1}{n}))^n = n^n \cdot(1+ \frac{1}{n})^n = n^{n-1} \cdot n(1+\frac{1}{n})^n \leq (n-1)^n \cdot n(1+\frac{1}{n})^n \leq \left(...\right) \leq n^{n+1} \end{eqnarray*}$

Nur bei den Punkten weiss ich noch nicht was ich machen kann.

01.11.2013, 18:38

jimmyt

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Als nächstes wieder das Potenzgesetz (1) anwenden, nur umgekehrt als beim ersten Mal (rechts nach links $\begin{eqnarray*} \Longleftarrow \end{eqnarray*}$ ).
Schreibe dafür das, was du schon hast, ein bischen um, dann wird es klarer:

$\begin{eqnarray*} \dots ~ \leq ~ (n-1)^n \cdot n \cdot (1+\frac{1}{n})^n ~ = ~ n \cdot \left ( (n-1)^n \cdot (1+\frac{1}{n})^n \right ) ~ \stackrel{\text{Potenzgesetz anwenden}}{=} \dots ~ \stackrel{\text{ein bischen rechnen}}{=} ~ \dots ~ \leq ~ n^{n+1} \end{eqnarray*}$

Irgendwann solltest du auf ein ähnliches Zwischenergebnis wie folgt kommen:

$\begin{eqnarray*} (n^2 - 1)^n \cdot \frac{1}{n^{n-1}} \leq n^{n+1} \end{eqnarray*}$

01.11.2013, 21:12

GroovyChuc

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Hmm ok ich steh wieder ein bisschen auf dem Schlauch.
$\begin{eqnarray*} n((n-1)\cdot (1+\frac{1}{n}))^n = n(n+1-1-\frac{1}{n})^n = n(n-\frac{1}{n})^n =n(n-\frac{1}{n})^1 \cdot (n-\frac{1}{n})^n-1 =(n^2-1) \cdot (n-\frac{1}{n})^{n-1} \end{eqnarray*}$
Ab hier bin ich mir nicht mehr sicher ob ich noch richtig liege:
$\begin{eqnarray*} = (n^2-1) \cdot \frac{(n-\frac{1}{n})^n}{(n-\frac{1}{n})} = (n^2-1) \cdot \frac{1}{(n-\frac{1}{n})^{-n} \cdot (n-\frac{1}{n})} \end{eqnarray*}$

?

01.11.2013, 22:04

jimmyt

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Zitat:

Original von GroovyChuc
Hmm ok ich steh wieder ein bisschen auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} n((n-1)\cdot (1+\frac{1}{n}))^n = n(n+1-1-\frac{1}{n})^n = n(n-\frac{1}{n})^n = \dots \end{eqnarray*}$

Ab hier würde ich anders vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \dots ~ = ~ n \left (n-\frac{1}{n} \right )^n ~ = ~ n\left (\frac{n^2-1}{n}\right )^n ~ = ~ \frac{n}{n^n} \cdot (n^2-1)^n ~ = ~ \frac{1}{n^{(n-1)}} \cdot (n^2-1)^n \end{eqnarray*}$

und jetzt schau dir das hier mal genauer an und vereinfache ein bischen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{(n-1)}} \cdot (n^2-1)^n ~ \leq ~ n^{n+1} \end{eqnarray*}$

Noch ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} a^p \cdot a^q = a^{p+q}~ \text{und} ~a^{p \cdot q} = a^{p^q} = a^{q^p} \end{eqnarray*}$

01.11.2013, 23:24

GroovyChuc

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Ich hab jetzt glaub ich einen Beweis aber ich bin mir nicht ganz sicher.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{(n-1)}} \cdot (n^2-1)^n \leq n^{n+1} \frac{1}{n^{(n-1)}} \cdot (n^2-1)^n \leq n^n \cdot n \hspace*{1.00cm} | \cdot n^{n-1} (n^2-1)^n \leq n^n \cdot n \cdot n^n \cdot n^{-1} = n^n \cdot n^n (n^2-1)^n \leq n^{2n} \hspace*{1.00cm} | ^{\frac{1}{n}} n^2-1 \leq n^2 \end{eqnarray*}$

01.11.2013, 23:36

jimmyt

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Genau das ist es! Beweis gelungen. Glückwunsch. Jubeln! smile

Am Ende vlt. noch ein letzter Schritt, der es dann ganz, ganz deutlich macht:

$\begin{eqnarray*} n^2-1 ~ \leq ~ n^2 \qquad | ~ - n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 ~ \leq ~ 0 \end{eqnarray*}$

01.11.2013, 23:49

GroovyChuc

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Ok super

Danke für die hilfreichen Tipps!

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