Vektoraddition führt zu linearer Unabhängigkeit oder Abhängigkeit?

01.11.2013, 14:51

IXI Cion

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Vektoraddition führt zu linearer Unabhängigkeit oder Abhängigkeit?

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n} \in V \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, sind dann auch alle $\begin{eqnarray*} v_{1}+x, ..., v_{n}+x \in V \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ auch linear unabhängig ?

Meine Ideen:
Wenn zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und man zu beiden Vektoren einen Vektor $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ addiert so müssen die Ergebnisse auch linear unabhängig sein.

$\begin{eqnarray*} u_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha * u_{1}+ \beta * x \neq u_{1}<br /> \end{eqnarray*}$ , da es für $\begin{eqnarray*} u_{2} + x \end{eqnarray*}$ keine Linearkombination aus $\begin{eqnarray*} u_{1} + x \end{eqnarray*}$ gibt.

Soweit bin ich gekommen, nur fehlt mir ein allgemeiner Beweis das das gilt und ich bräuchte ein paar Denkanstöße wie ich das den Beweisen könnte.

Danke für kommende Tips smile

smile

01.11.2013, 15:16

klarsoweit

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RE: Vektoraddition führt zu linearer Unabhängigkeit oder Abhängigkeit?

Zitat:

Original von IXI Cion
$\begin{eqnarray*} u_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha * u_{1}+ \beta * x \neq u_{1}<br /> \end{eqnarray*}$ , da es für $\begin{eqnarray*} u_{2} + x \end{eqnarray*}$ keine Linearkombination aus $\begin{eqnarray*} u_{1} + x \end{eqnarray*}$ gibt.

Was willst du mit "dann gilt: $\begin{eqnarray*} \alpha * u_{1}+ \beta * x \neq u_{1} \end{eqnarray*}$ " aussagen? Du müßtest doch zeigen, daß u_1 + x und u_2 + x linear unabhängig sind und das auch noch für beliebiges x. Mit deinem gewählten x mag das ja noch hinkommen, aber ich kann dir auch ein x nennen, wo das nicht stimmt.

01.11.2013, 15:29

IXI Cion

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Meine Aussage $\begin{eqnarray*} \alpha * u_{1}+ \beta * x \neq u_{1}<br /><br /> \end{eqnarray*}$ war wohl nicht gut formuliert, aber was ich eigentlich gedacht habe ist, das die Aussage wie sie da steht stimmt, nur da du jetzt schreibst das du mindestens ein x kennst für das es nicht stimmt muss ich da wohl nochmal drüber schauen :/

EDIT: $\begin{eqnarray*} u_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man kann diese Gleichung nicht auflösen, sodass für Vektor x ein genauer Wert rauskommt, der die lineare Abhängigkeit bestätigen würde. :/

01.11.2013, 16:26

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wie klarsoweit schon geschrieben hat "müßtest doch zeigen, daß u_1 + x und u_2 + x linear unabhängig sind".
Da nützt es nichts, einfach u_1 + x = u_2 + x zu setzen.

01.11.2013, 16:35

IXI Cion

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Meine Aufgabe ist es zu sagen ob die Aussage stimmt oder ob sie nicht stimmt:

Es sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n} \in V \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, so ist für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ auch alle $\begin{eqnarray*} (v_{1}+x), ..., (v_{n}+x) \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Was ich dann gemacht hab:

$\begin{eqnarray*} u_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, u_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus habe ich jetzt geschlossen, dass die Aussage stimmt. Nun fehlt mir jedoch der Beweisansatz warum das denn stimmt und dabei brauche ich grade Hilfe.

Falls das was ich gemacht habe nicht stimmt, dann bitte ich um Entschuldigung, aber ich sehe keinen Vektor $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ der durch Addition, zwei linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n} \in V \end{eqnarray*}$ zu linear abhängigen Vektoren macht.

01.11.2013, 16:55

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Beispiel $\begin{eqnarray*} v_1=(1,0,0)^T, v_2=(0,1,0)^T, x=(-1/2, -1/2,0)^T \end{eqnarray*}$
Es gibt auch ein einfacheres Gegenbeispiel, aber das würde die gestellte Aufgabe komplett lösen.

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01.11.2013, 17:05

IXI Cion

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Sorry falls das eine echt dumme Frage ist, aber heißt das, dass das die beiden Ergebnisse untereinander eine Linearkombination sein sollen, so wie hier ?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} * \alpha = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls dem so ist dann tut es mir Leid, hab die Frage wohl nicht so verstanden wie sie gedacht war :/

01.11.2013, 17:21

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Ich weiß jetzt nicht, was du mit

Zitat:

Original von IXI Cion
dass das die beiden Ergebnisse untereinander eine Linearkombination sein sollen, so wie hier ?

meinst

verwirrt

01.11.2013, 17:39

IXI Cion

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Also wenn

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} , da \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann sind die Vektoren ja linear unabhängig weil, da es kein x gibt, was die zwei ursprünglichen Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als Linearkombination darstellen hätte können. (Das war mein anfänglicher Gedanke)

Aber wenn nun die Ergebnisse, sprich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

untereinander durch eine Variable $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R <br /> \end{eqnarray*}$ durch eine Linearkombination dargestellt werden können sind sie danach linear abhängig, so wie hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} * \alpha = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \alpha = -1 \end{eqnarray*}$

Oder begehe ich hier wieder einen üblen Denkfehler ? :/

01.11.2013, 17:57

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Dein anfänglicher Gedanke war....vergiss ihn einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der zweite geht in die richtige Richtung, Linearkombination ist ein gutes Stichwort. Wenn du jetzt nicht nur zwei Vektoren sondern allgemein n Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1,\ldots , w_n \end{eqnarray*}$ hast, wie ist dann lineare Abhängigkeit definiert?

Und um die Sache ein bisschen abzukürzen: Wenn Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1,\ldots , w_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein sollen, welches Element des Vektorraumes kann dann auf keinen Fall unter diesen Vektoren vorkommen?

01.11.2013, 18:14

IXI Cion

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Ein Vektor $\begin{eqnarray*} w_{i} \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig, wenn er als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} w_{1}, ...,w_{n} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann.

Oder irre ich mich schon hierbei ?

Wenn es linear unabhängig sein soll müssen alle $\begin{eqnarray*} a_{1}, ..., a_{n}, a_{1}*w_{1}, ...,a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ sein bzw. für lineare Abhängigkeit muss es mindestens ein $\begin{eqnarray*} a \neg 0 \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} a_{1}*w_{1}, ...,a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

01.11.2013, 18:43

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So stimmt das nicht unglücklich

unglücklich

Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1,\ldots ,w_n \end{eqnarray*}$ eines $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ heißen linear abhängig, wenn es Skalare $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ gibt,
die nicht alle Null sind, und mit denen $\begin{eqnarray*} a_1w_1+\ldots +a_nw_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Sie heißen linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} a_1w_1+\ldots +a_nw_n=0 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} a_1=\ldots =a_n=0 \end{eqnarray*}$ möglich ist.
Im ersten Fall kannst du ein $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ also als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben.

Siehst du den Unterschied? Du kannst immer $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ als Linerkombination von $\begin{eqnarray*} w_1,\ldots ,w_n \end{eqnarray*}$ schreiben.
(Setze einfach $\begin{eqnarray*} a_i=1, a_j=0, j\neq i \end{eqnarray*}$ )

01.11.2013, 18:53

IXI Cion

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Ich weiß nicht ob ich mich da jetzt falsch ausgedrückt hatte, aber mit dem \neg 0 meinte ich das es mindestens ein a geben muss welches nicht null ist, damit $\begin{eqnarray*} a_{1}w_{1},...,a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt
zumindest lese ich das bei dir genauso raus, aber meine wissenschaftliche Schreibweise ist auch ein bisschen missraten :/

Also nochmal, damit ich es auch ganz sicher im Kopf habe:

Lineare Abhängigkeit = mindestens ein a ungleich 0, sodass dies Summe der Vektoren mit a multipliziert 0 ergibt.

Lineare Unabhängigkeit = die Summe der Vektoren darf nur 0 ergeben, wenn alle a = 0

Um damit auf mein eigentliches Problem zuückzukehren:
Mein Problem ist also linear abhängig, sobald ich zu allen Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{i} , x \end{eqnarray*}$ addiere, weil ich dann alle Vektoren mit einer Variable als Linearkombination darstellen kann oder?

01.11.2013, 19:48

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Du schreibst immer

Zitat:

Original von IXI Cion
$\begin{eqnarray*} a_{1}w_{1},...,a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt

Das ist eine Liste aber keine Summe. So bedeutet das, jeder einzelne der Ausdrücke $\begin{eqnarray*} a_1w_1, a_2w_2,\ldots \end{eqnarray*}$ muss Null sein und das ist hier falsch!

Zitat:

Original von IXI Cion
Lineare Abhängigkeit = mindestens ein a ungleich 0, sodass dies Summe der Vektoren mit a multipliziert 0 ergibt.

Vielleicht meinst du das richtige, aber ich habe Zweifel.

Mindestens einer der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ in der Summe $\begin{eqnarray*} a_{1}w_{1}+...+a_{n}w_{n} \end{eqnarray*}$ ist ungleich Null und trotzdem ist $\begin{eqnarray*} a_{1}w_{1}+...+a_{n}w_{n}= 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Lineare Unabhängigkeit = die Summe der Vektoren darf nur 0 ergeben, wenn alle a = 0

Auch hier bin ich nicht sicher, ob du das richtige meinst.

Zitat:

Um damit auf mein eigentliches Problem zuückzukehren:
Mein Problem ist also linear abhängig, sobald ich zu allen Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{i} , x \end{eqnarray*}$ addiere, weil ich dann alle Vektoren mit einer Variable als Linearkombination darstellen kann oder?

Das verstehe ich überhaupt nicht. Von welcher einen Variable sprichst du?

Warum überlegst du nicht als erstes, was es bedeuten würde, wenn die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1+x, \ldots , v_n+x \end{eqnarray*}$ linear unabhängig wären. Wenn es dir leichter fällt, setze $\begin{eqnarray*} w_1=v_1+x, \ldots , w_n=v_n+x \end{eqnarray*}$ und verwende die Definition, über die wir die ganze Zeit reden.

Damit hinterher die Enttäuschung nicht zu groß ist: Die Lösung der Aufgabe geht ganz ohne diesen Formalismus (s. mein Hinweis zum Abkürzen) aber ich glaube, du hast das Konzept noch nicht verstanden. Wir können also damit weiter machen oder zuerst direkt die Aufgabe lösen. Wie du möchtest.

01.11.2013, 20:17

IXI Cion

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Als erstes ein riesengroßes Dankeschön das du dir die Mühe machst und dir das was ich schreibe durchliest smile

smile

Okay erstmal zu meiner Aufgabe:
Was ich an Worten im letzten Post darüber verloren hatte war nichts anderes als das:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} * \alpha = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \alpha = -1 \end{eqnarray*}$

wobei das Alpha meine genannte Variable im vorherigen Post war und da es bei dem Beispiel eine Darstellung gibt, bei der mindestens einer der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \alpha_{1}, ..., \alpha_{i} \end{eqnarray*}$ nicht gleich null ist, sodass $\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{2} = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination sind, die zusammen 0 ergeben können, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha\neg0 \end{eqnarray*}$ ist.

Bsp: $\begin{eqnarray*} 1* \begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} - 1 * \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \alpha_{1},\alpha_{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Daraus schließe ich das bei meiner Aufgabe die Aussage nicht stimmt, da ich hier ein konkretes Gegenbeispiel habe.

Was ich unter linearer Abhängigkeit verstehe:

Ein Vektor ist linear abhängig, wenn er durch eine Linearkombination aus anderen Vektoren eines Vektorraums dargestellt werden kann. Dabei gilt, dass die Summe $\begin{eqnarray*} a_{1}w_{1}+ ...+ a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann, jedoch nicht jedes $\begin{eqnarray*} a_{1}, ..., a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ sein darf.

Was ich unter linearer Unabhängigkeit verstehe:

Ein Vektor ist linear unabhängig, wenn er durch keine Linearkombination aus anderen Vektoren des Vektorraums dargestellt werden kann. Dabei gilt, das die Summe $\begin{eqnarray*} a_{1}w_{1}+ ...+ a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ NUR dargestellt werden kann, wenn jedes $\begin{eqnarray*} a_{1}, ..., a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

01.11.2013, 20:47

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so weit, so gut Freude

Freude

Dann mal ein Spezialfall, der uns nützlich sein wird:
Nimm an, du hast Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1,\ldots , w_n \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} w_1=0 \end{eqnarray*}$ .
Sind die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig?

01.11.2013, 20:56

IXI Cion

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Yeay, ein bisschen mehr verstanden smile

smile

Ich würde sagen, das die Vektoren linear abhängig sind, weil:

$\begin{eqnarray*} a_{1}*0 + a_{2}*w_{2} + ... + a_{n}w_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} a_{1} \neg 0 \end{eqnarray*}$ besitzt.

01.11.2013, 21:03

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Jepp

Freude

Immer wenn der Nullvektor dabei ist, ist die Menge der Vektoren l.a.

Das verwenden wir jetzt zur Lösung der Aufgabe

Wie haben ja schon ein Beispiel, in dem die Vektoren linear abhängig wurden. Also wird man versuchen, auch im allgemeine Fall zu zeigen, dass die Vektoren l.a. werden können, wenn man x geeignet wählt.

Wenn wir also erreichen wollen, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1+x, \ldots , v_n+x \end{eqnarray*}$ linear l.a. sind, dann...

01.11.2013, 21:16

IXI Cion

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Also was wir erreichen wollen ist, dass einer der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{1}+x, ..., v_{n}+x \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist und ich weiß nicht ob man das so schreiben darf, aber als Ansatz vielleicht so etwas:

Für ein $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq i \leq n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} v_{1}, ..., v_{n} \in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v_{i} + x = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$

04.11.2013, 09:17

klarsoweit

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Schön. Und wie ist jetzt das x zu wählen?

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