Integration cos(2x)/(sin(x)^2*cos(x)^2)

01.11.2013, 21:04

Hyrikan

Integration cos(2x)/(sin(x)^2*cos(x)^2)

Hallo Forumgemeinde,
ich sitze gerade an einer Übung zu meiner Mathematik für Chemiker Vorlesung und bin dabei auf ein Problem bei der Integration eines Terms gestoßen.

Die Aufgabe: Zu bestimmen war $\begin{eqnarray*} \int \frac{cos(2x))}{sin^2(x)*cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

Ich habe folgende Rechnung gemacht:

1. Den Nenner umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} sin^2(x)*cos^2(x) = sin(x)*cos(x)*sin(x)*cos(x)\\ mit\; sin(x)*cos(x)=\frac{1}{2}sin(2x)\Rightarrow sin^2(x)*cos^2(x)=\frac{1}{4}sin^2(x)\\ \\ \Rightarrow f(x)=\frac{cos(2x)}{\frac{1}{4}sin^2(2x)}=\frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)} \end{eqnarray*}$

2. Mit $\begin{eqnarray*} cos^2(2x) \end{eqnarray*}$ erweitern und Additionstheorem anwenden:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4*cos(2x)+cos^2(2x)}{sin^2(2x)+cos^2(2x))} \\ \Leftrightarrow 4*cos(2x)+cos^2(2x) \end{eqnarray*}$

3. Substitution von cos(2x) und Integration:

$\begin{eqnarray*} t=cos(2x) \\ \Rightarrow f(t)= 4*t + t^2 \\ \int f(t) = \int 4*t + t^2 = 2*t^2 + \frac{1}{3}*t^3 \\ \\ Resubstitution: t=cos(2x)\\ \Rightarrow \int f(x)= 2*cos^2(2x) + \frac{1}{3}*cos^3(2x) \end{eqnarray*}$

Weil ich mir nicht sicher war ob das so stimmt, hab ich mir die Formel danach von einem Integralrechner (www.integralrechner.de) integrieren lassen, um mein Ergebnis zu überprüfen.
Dieser spuckte mir aber folgendes aus:
$\begin{eqnarray*} \int f(x) = -tan(x) \; - \; \frac{1}{tan(x)} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand einen Tipp geben, wo ich einen Fehler gemacht habe?

Vielen Dank schonmal,
Hyrikan

01.11.2013, 21:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hyrikan
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=\frac{cos(2x)}{\frac{1}{4}sin^2(2x)}=\frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Hyrikan
2. Mit $\begin{eqnarray*} cos^2(2x) \end{eqnarray*}$ erweitern und Additionstheorem anwenden:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4*cos(2x)+cos^2(2x)}{sin^2(2x)+cos^2(2x))} \end{eqnarray*}$

Was ist das denn für eine "Erweiterung"??? Du kannst doch nicht einfach in Zähler und Nenner von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ irgendwas hinzufügen und meinen, dass dieses $\begin{eqnarray*} \frac{a+c}{b+c} \end{eqnarray*}$ dann dasselbe ist! geschockt

01.11.2013, 21:17

Hyrikan

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4*cos(2x)+cos^2(2x)}{sin^2(2x)+cos^2(2x))} \end{eqnarray*}$

[/quote]

Autsch! Jetzt dämmerts mir ... Da hab ich doch glatt Summe und Produkt beim Erweitern verwechselt ... Hammer

Dann auf ein Neues

01.11.2013, 21:52

Hyrikan

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Zitat:

Original von HAL 9000
[quote]Original von Hyrikan
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=\frac{cos(2x)}{\frac{1}{4}sin^2(2x)}=\frac{4cos(2x)}{sin^2(2x)} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin Ok - jetzt würde ich an deiner Stelle $\begin{eqnarray*} u=\sin(2x) \end{eqnarray*}$ substituieren, was wegen $\begin{eqnarray*} \dd u = 2\cos(2x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ sehr gut zum Zähler passen würde...
[quote]

Ok ich mach das jetzt zum ersten Mal so, also kann es sein, dass ich einfach irgendetwas nicht kenne:

Ich substituiere mit $\begin{eqnarray*} u=\sin(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(u,x)=\frac{4*cos(x)}{u^2} \end{eqnarray*}$

Das Differential kann ich mir auch noch erschließen, es gilt ja: $\begin{eqnarray*} dy = f'(x)dx \; also \; du= (sin(2x))'dx = 2*sin(2x)dx \end{eqnarray*}$

Also habe ich als Folgerung daraus doch: $\begin{eqnarray*} \int f(x,u)dx\;du=\int \frac{4*cos(2x)}{u^2} dx\;du =\int -\frac{4*cos(2x)}{u}*2*cos(2x)dx\;dx= \int-\frac{8*cos^2(2x)}{u}*(dx)^2 \end{eqnarray*}$

(f(u) integriert f(x) nicht). Was fange ich jetzt mit diesem Term an?

01.11.2013, 23:07

grosserloewe

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ALTERNATIV:

Substituiere

$\begin{eqnarray*} z= sin2x \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{dz}{2 cos(2x)} \end{eqnarray*}$

nach Einsetzen der Substtution und dx ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{2 sin^2(x) *cos^2(x)} \, dz \end{eqnarray*}$

Multipliziere jetzt den Zähler und Nenner mit

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{4 sin^2(x) *cos^2(x)} \, dz \end{eqnarray*}$

Es gilt :

$\begin{eqnarray*} sin x= 2* sinx *cosx \end{eqnarray*}$

das ergibt:

$\begin{eqnarray*} 2 \int \frac{1}{z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

Nun brauchst Du nur noch resubstituieren

smile

01.11.2013, 23:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von grosserloewe
ALTERNATIV:

Substituiere

$\begin{eqnarray*} z= sin2x \end{eqnarray*}$

"ALTERNATIV" ist ein guter Witz:

Zitat:

Original von HAL 9000
Bis hierhin Ok - jetzt würde ich an deiner Stelle $\begin{eqnarray*} u=\sin(2x) \end{eqnarray*}$ substituieren, was wegen $\begin{eqnarray*} \dd u = 2\cos(2x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ sehr gut zum Zähler passen würde...

Es war ja nicht zu ahnen, dass Hyrikan diese Substitution so desaströs falsch umzusetzen versucht. unglücklich

01.11.2013, 23:55

grosserloewe

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@ HAL 9000

Ich meine doch mein W e g , der ist doch viel kürzer

Ohne weniger Winkelbeziehungen , das meine ich

UNABHÄNGIG von Dir

smile

02.11.2013, 00:07

HAL 9000

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Dass das wesentlich kürzer ist als

Zitat:

Original von Hyrikan
1. Den Nenner umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} sin^2(x)*cos^2(x) = sin(x)*cos(x)*sin(x)*cos(x)\\ mit\; sin(x)*cos(x)=\frac{1}{2}sin(2x)\Rightarrow sin^2(x)*cos^2(x)=\frac{1}{4}sin^2(x) \end{eqnarray*}$

da habe ich wohl eine andere Wahrnehmung. Augenzwinkern

02.11.2013, 00:23

grosserloewe

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ich meine den Weg von Hyrikan im Vergleich zu Meinem , das wird doch wohl jeder
sehen, das der Weg von Hyrikan einfach zu umständlich ist, das meine ich und sonst
gar nichts.

smile

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